[哲学] 欧几里得[第1页]

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[哲学]欧几里得[第1页]

作者:人性的游戏1

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欧几里得1、整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路

从一篇帖子开始吧…
2019年5月5日晚上19点28分，网友“芝罘（fú）山人”在贴吧开了一篇名为“从欧几里得到爱因斯坦——漫话科学史第一话关于公理化方法…”的帖子。
…罘：芝罘…
…芝罘：山名，又岛名，都在山东…
…贴吧：百度贴吧…百度公司产品…21世纪初（2001年~2020年），贴吧是全球最大的网络中文社区…
…社区：若干人聚集在一起形成的一个生活上相互关联的集体，如村庄、居民小区…
…中文社区：使用中文（汉语）的社区…
…网络中文社区：网上使用中文的社区…
“为什么从这篇帖子开始呢…是因为…网上删帖很快，可能不久后就没这篇帖子了，”现代学者说。
…
“随缘更新，讲一点西方科学发展史中的常常被人忽略的点…”网友芝罘山人说，“今天讲的是公理化方法的前世今生…”
“为什么现代科学没有发生在中国？…这个老掉牙的问题在我看来，应该反过来问：为什么现代科学发生在西方？…”芝罘山人接着说，“事实上，现代科学在西方的出现也是一件偶然的事情，而且和文艺复兴之类的关系并没有西方人宣传的那么大（当然，还是有很大的关系的）。整个西方科学的发展，大概可以归结为一句话：两条腿走路…今天我就来讲一下这第一条腿：公理化方法…”

对于芝罘山人的话，网友“Crazykakayibu”评论道：“大兄弟，古代任何国家都没有科学，包括西方。科学是自伽利略等人创造出科学的方法论后才出现的～然后呢，中国古代数学成就和古希腊一起领先全世界倒是真的。古希腊几何学突出，中国古代代数方面成就极高…如果只注重古代西方的几何研究而忽略中国的代数贡献，那么数学是不完整的～”
…Crazy：英语，做形容词时意思是“不理智的; 疯狂的”，做名词时意思是“疯子”…
…kakayibu：卡卡衣都（或卡卡一度）的汉语拼音…
…“芝罘山人”头像虽然是位穿警服的、非常可爱的动漫女孩子，但其个人信息显示他是男性…
“有无科学不在于掌握多少科学知识，而在于是否掌握科学方法…我的看法是，中国古代从来没有过科学方法，西方也是文艺复兴后慢慢琢磨出科学方法的…直到19世纪末，二十世纪初才正式形成…”芝罘山人回复道。
“中国古代数学代数不是最亮眼的，最亮眼的是算法问题…中国是最早尝试数学问题的机械化求解的…将复杂问题分为若干简单机械的计算步骤是中国古数学的特色…”芝罘山人接着回复。
…
“我们来看一下，在欧几里得之前，西方，或者是古希腊的科学，大概是个什么程度…”芝罘山人说。
“总是有牧羊犬说什么我国古代重视实际应用，忽略理论逻辑…其实那时的希腊也差不多是这个样子…”芝罘山人接着说。

“公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实：‘公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识’…这意味着，数学正是作为一门学科，从哲学里面分了出去…数学再也不需要智者灵光一闪式的顿悟，只需循序渐进的学习…
请看下集《欧几里得2、从零碎到系统——科学理论的成长；撼动世界的公理化方法；数学的诞生…》”

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欧几里得2、从零碎到系统——科学理论的成长；撼动世界的公理化方法；数学的诞生…

“总是有牧羊犬说什么我国古代重视实际应用，忽略理论逻辑…其实那时的希腊也差不多是这个样子…”芝罘（fú）山人接着说。
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
…牧羊犬：网络牧羊犬…
…网络牧羊犬：？？？…
“网络牧羊犬其实说的是‘慕洋犬’的意思…一些人崇洋媚外…很多人称这种人为牧羊犬…当然有些人解释的难听一点就是跪舔洋人的狗…所以不是单纯的指宠物狗，而是一种嘲讽的意思…”网友说。
“古埃及人从土地丈量开始，掌握了初步的几何学知识。巴比伦人为了管理税收，也对数学有一定的研究，取得了一定成果。另外，大量古希腊哲学家（那个时候的‘哲学家’基本上什么都研究），比如毕达哥拉斯之类，都在数学领域有所成就…但是，这个时候的希腊数学，跟中国古代数学差不多，也只停留于解决具体问题，以及从具体问题提炼出来的一些理论。这些理论零零散散，不成系统…”芝罘山人继续说，“就在此时，欧几里得带着他的神书《几何原本》横空出世…这里容许我吹一句，‘天不生欧几里得，万古如长夜’…”
…万古：万代；万世…
…天不生欧几里得，万古如长夜：上天不降生欧几里得…人类就像在漫漫长夜中生活一样…永远见不到天日…
“为什么我要这么吹呢？因为欧几里得首次引入了公理化方法…什么是公理化方法？…公理化方法就是：从少数简单的命题（即‘公理’）出发，通过严格的逻辑，证明许多复杂的不直观的命题（即‘定理’）…”芝罘山人最后说。

“这里的‘证明’实际上指的是一种逻辑关系：如果公理是对的，那么这些定理也是对的…”芝罘山人说，“公理是不是对的呢？…为保证公理是对的…选择少数简单命题时，需选择那些正确性‘显而易见’‘不证自明’的命题…”
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
“就这样，欧几里得选取了十大公理，作为基础，构建了庞大的几何大厦，将当时已知的数学知识进行了一次空前的大整合…”芝罘山人接着说。
“这还不是公理化方法最可怕的地方…公理化方法最可怕的地方在于它隐含了这样一个事实：‘公理本身是简单易懂的，逻辑推导也是简单易懂的（谁还不会三段论？），那么对于一个智力平常的人，只要他经过一定时间，从头开始学习，那么他就能够掌握庞大而繁杂的几何知识’…这意味着，数学正是作为一门学科，从哲学里面分了出去…数学再也不需要智者灵光一闪式的顿悟，只需循序渐进的学习…”

“本质上，整个欧几里得几何学的全部内容，都包含在他那十大公理里面了…根据欧几里几何学，人只要了解了十大公理，就等于掌握了整个几何学——从这个意义上说，欧几里得几何学是相当贫乏的…
请看下集《欧几里得3、神奇的三段论；向普通人敞开大门的象牙塔；公理化方法的局限性…》”

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欧几里得4、公理化方法的诱惑：从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能得到真理

“公理化方法不是万能的…究其原因，公理化方法的最大局限性，就在于它自己并不能解答‘公理从哪儿来’这个问题…”芝罘（fú）山人接着说。
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
“欧几里得本人给出的答案是‘不证自明’，这话相当于学生时代数学练习册里的‘答案：略’。事实上，‘公理从哪儿来’这个问题，一度牵动了整个数学界，科学界，乃至哲学界，这个问题直到19世纪末才有了比较令人信服的答案…我们暂且按下不提…下一期，我们来聊聊公理化方法对西方的影响，”芝罘山人最后说。
芝罘山人发上面这些话的时间是2019-05-05 20:19…截止2019-05-05 21:30，芝罘山人没有更新帖子…网友“****fwh”在2019-05-05 21:30评论道：“太监了？”…
…太监：本义指古代宫廷接受了宫刑，没有生育能力伺候皇家的奴才。现为网络用语，意指书未写完…
“现在基本指一篇小说没写完，作者不写了（即‘下面没有了’），或不更新了，断更了（即‘断根了’），一直追这部小说的人就说这部书太监了…”现代学者说。
“公理从哪里来？…这个问题是唯心和唯物主义割裂和整合的关键啊~”网友“再生好伸手”在2019-05-06 00:03评论道。
芝罘山人在2019-05-07 02:20更新了帖子。

“先来谈一下，公理化方法推出后对西方的影响…”芝罘山人说，“公理化方法对西方学界的诱惑是巨大的——只要我们从少数显而易见的公理出发，经过推理，就能够得到真理…所以，在欧几里得之后，许多西方哲学家，科学家，数学家，都不知不觉地使用了公理化方法…”
“举个例子，美国《独立宣言》，开宗明义第一句——‘我们认为下述真理是不言而喻的，即人人生而平等’…以此作为‘公理’，‘证明’了英国统治的不合法性和独立的正当性…”芝罘山人接着说。
“使用公理化方法最彻底的是荷兰唯物主义哲学家斯宾诺莎…斯宾诺莎的著作《伦理学》干脆照搬了几何原本的样式，也来个‘公理’‘定理’…斯宾诺莎以逻辑证明的形式阐述他的哲学观点，并在每一个命题论述的结尾写上‘××命题由此得证’…”芝罘山人继续说。
…巴鲁赫·德·斯宾诺莎（Baruch de Spinoza，1632年11月24日—1677年2月21日）：犹太人，近代西方哲学的三大理性主义者之一，与笛卡尔和莱布尼茨（cí）齐名。他的主要著作有《笛卡尔哲学原理》、《神学政治论》、《伦理学》、《知性改进论》等…
…《伦理学》：全名《用几何学方法作论证的伦理学》…该书用几何学的方法写成，认为只有凭推理证明获得的知识才是可靠的知识…《伦理学》从本体论、认识论开始，最后得出《伦理学》的最高概念——自由，为人的幸福指明了道路。可以说，自由是斯宾诺莎哲学的核心和最终归宿…

“我国古代掌握的主要是技术，但没有系统理论支撑的技术很难流传下来…典型例子就是数学…后世学会九章算术还能推陈出新的有几个？
请看下集《欧几里得5、没有系统理论支撑的技术很难流传下来…》”
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欧几里得8、美丽的物理学大厦：力学，电磁学；证明的二要素：方法，依据

“牛顿在伽利略的基础上，结合自己多年的观察和实验，再加上自己新创立的数学工具——微积分，提出了划时代的牛顿三大定律，并以三大定律为基础，构建了庞大的物理学大厦。至此，古典物理学横空出世，微积分成了物理学家手里的利剑，神挡杀神，佛挡杀佛…”芝罘（fú）山人接着说，“经过一代又一代物理学家的辛勤耕耘，到十九世纪时，物理学已经成为了一棵枝繁叶茂的大树…”
…芝罘山人：网友网名，见《欧几里得1》…
“这边力学在高歌猛进，那边，电磁学也没有闲着…”芝罘山人继续说。
“从富兰克林开始，经过一代又一代物理学家（安培，欧姆，法拉第…）的努力研究，到19世纪后期，麦克斯韦以极其精巧和简洁的麦克斯韦电磁方程为基础，完成了对以往电磁学家一系列成果的大整合，一座新的大厦——电磁学屹立在大地上，和牛顿的力学大厦遥遥相望…”芝罘山人最后说。
“也就是从电磁学开始，西方科学终于完成了对东方的全面超越…因为，电磁学不同于以往的任何学科，除了生活中不太常见的静电现象以外，绝大多数电磁学的进展都来自于实验室精心设计的实验，而不是日常生活的朴素观察…这意味着西方已经摆脱了粗略的观察，开始使用定量实验的方法去主动探索完全未知的领域，理论研究走在了生产实践的前面…这是在整个人类科学史上都前所未有的…”芝罘山人说。

“然而，就在科学界为物理学的飞速发展和日新月异的技术发明欢呼雀跃的时候，麦克斯韦电磁大厦的基础，却出现了令人担忧的裂缝…”芝罘山人接着说。
…
“伽利略实际功劳就是全面开始了对早期公理的验证，也就是说去检验逻辑推理的大前提是否正确…这项工作极为重要，因为对于推理来说，它只保证了证明方法的正确，至于内容是否正确…取决于大前提是否正确…”网友“nj530408”评论道。
“…前提正确，用前提推理出的结论就正确；前提不正确，用前提推理出的结论就不正确…”现代学者说。
“证明由方法、依据共同完成…”另一位现代学者说，“方法是三段论（见《欧几里得3》），依据是公理…”
“证明过程符合三段论…那么结论的正确与否，就由公理决定…”现代学者接着说，“公理正确，结论就正确；公理不正确，结论就不正确…”
“伽利略做的工作，就是验证公理的正误…”现代学者最后说。
…
“伽利略之前的社会，人们信奉先贤经典、《圣经》条文…亚里士多德的话、基督教的神圣信条是人们证明的依据…”现代学者说，“虽然人们的证明方法正确，但是…由于依据不正确…人们始终无法得到正确结论。”

““把无理数当做小数进行处理，本质上就是实际生活中的估算…而毕达哥拉斯学派对此很敏感…他们引入无理数的概念…由此引发了一次数学革命…”air03craft继续说。
“这就是东西方对待数学的不同态度…”air03craft最后说。
请看下集《欧几里得9、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因…》”
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欧几里得9、初等代数高等代数的分水岭——微积分；影响科学发展的根本原因…

“把西方先出现科学方法归于偶然，是不是过于简单…”网友air03craft说。
…air：英语，“空气”的意思…
…craft：英语，意思是“技巧”…
“楼主分析几何学的思路有点意思…但是到了微积分这个更重要的数学工具倒是一笔略过…这是牛顿力学体系为代表的经典物理体系的基石…”air03craft接着说。
“微积分是初等代数和高等代数的分水岭…到了微积分时代，东方已经全面落后了…”air03craft最后说“微积分的出现总不能归于偶然或者某个个体的无心之举吧，而且完善微积分的历史…其精彩程度不亚于经典物理的危机史…”
“古代中国对算术…本质上是应用高于一切——能用即可，其他都靠边…典型的例子就是无理数的概念…”air03craft说。
“理论上发现勾股定理后，就会面临这个问题…我们的做法是靠近似的小数做逼近处理即可，不再多做考虑…”air03craft接着说。
“把无理数当做小数进行处理，本质上就是实际生活中的估算…而毕达哥拉斯学派对此很敏感…他们引入无理数的概念…由此引发了一次数学革命…”air03craft继续说。
“这就是东西方对待数学的不同态度…对待数学的不同态度，是影响后续科学发展的根本原因之一…”air03craft最后说。

“牛顿创立微积分本质上还是欧几里得式的——先定义几个基本概念，如微分，导数；再给出几个公理，如微分公式，积分公式；然后在此基础上展开推演…”芝罘（fú）山人说，“我这一篇主要讲物理学和数学史上关于公理化方法所引起的争议和思考、以及这一方法的发展变迁…所以微积分会讲的很粗略…抱歉了…”
…芝罘山人：网友网名…见《欧几里得1》…
“所以我说西方科学的出现偶然性很强…没有欧几里得的公理化方法，西方是不可能发展出近代科学的…”芝罘山人接着说。
“这个说法有待商榷（què）…”网友nj530408说，“亚里士多德时代…形式逻辑的基本形态已经建立…哲学和数学分离成为可能…第一次数学危机也迫切需要解决…采取了几何解释的柏拉图学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题…他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论…”
…榷：商讨…
…商榷：磋商，互相研究，多指学术问题或其他需要慎重研究的问题…
…形式：某物的样子和构造，区别于该物构成的材料…即“事物的外形”；也指办事方法…
…逻辑：规律…
…形式逻辑：事物样子、构造的规律…形式逻辑靠概念（定义）、判断（命题）、推理（证明）描述事物样子、构造所遵循的规律…
“逻辑和语言一样，平时感觉不到它有多重要，而只有在思想混乱一团时才感到其必不可少…”现代百姓说，“逻辑是整理思想和知识的框架，没有它，理论和科学都无从产生…”

““在开始今天的文章之前，我给大家出个题：边长为1的正方形的对角线长多少？”网友说，“你可能疑惑我为什么要问这么低级的问题呢~答案很简单——√2（根号2）啊~”
“没错！但是如果在古希腊…你这么回答…你这时候可能已经被干掉了…”网友接着说。
请看下集《欧几里得10、逻辑和生活；古希腊数学；数论…》”
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欧几里得11、奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数…

…奇数：不能被2整除的数，数学表达式为：2k+1（k为整数），如﹣5、﹣3、﹣1、1、3、5…
…偶数：能被2整除的数，数学表达式为：2n（n为整数），如﹣4、﹣2、0、2、4…
“正偶数也称双数…”现代学者说。
“若某整数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n；若不是2的倍数，它就是奇数，可表示为2n+1（n为整数）…”现代学者接着说，“奇数除以2的余数是1…”
…素数一般指质数…
…质：1、事物的根本特性。2.哲学上，指一事物之所以是该事物并区别于其他事物的规定性。3.质料，构成事物的材料…
…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…
…
自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4…表示的数。
“自然数就是对自然界存在的物体计数的数…”现代学者说，“因此人们称它们为自然数…”
因：原故，原由，事物发生前已具备的条件。
因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…如6÷2=3（6除以2等于3），2就是6的因数…
“在小学数学里，两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或约数…”现代学者说，“如2×3=6（2乘3等6），2和3都是6的因数…”
“因数是构成其它数的数…”另一位现代学者说，“正如‘因’的含义一样——‘因’表示构成其它事物的条件、材料…”

…
…完全数：自然数中，如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”…第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等…
因子：元素、因素、成分…在数学中，因数又称因子…
真因子：自身以外的因数…如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…
“6的真因子是1、2、3，1＋2＋3=6，6是完全数；28的真因子是1、2、4、7、14，1＋2＋4＋7＋14=28，28是完全数…”现代学者说，“同理，8128、33550336也都是完全数…”
…平方数：又称完全平方数…指可以写成某个整数的平方的数…如9 =3×3，9就是平方数…
…三角数：正整数前n项和，如1（前1项的和），3（前2项的和），6（前3项的和），10（前4项的和），15（前5项的和）…n（n+1）/2（前n项的和）…
“第1个三角数是1，第2个三角数是1与2的和，也就是3…第3个三角数是1、2、3的和，即6…”现代学者说，“三角数的表达式为n（n+1）/2，n为正整数…”
“在工地上按‘顶层1，次顶层2、次次顶层3…底层n’堆圆木，从侧面看它们就像三角形…”建筑工人说，“能堆成三角形的圆木总数1、3、6…被称为三角数。”
…
“在圆木横截面上标上序数1、2、3…横截面看上去就像自然数堆成的山…”建筑工人最后说。

“商高：西周数学家…商高在公元前1000年提出了“勾三股四弦五”的勾股定理特例…
请看下集《欧几里得12、毕达哥拉斯学派；希帕索斯；边长1的正方形的对角线长度…》”
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欧几里得14、毕达哥拉斯的出身、经历；闪米特人；提洛岛从繁盛到荒无人烟…

“让学生了解毕达哥拉斯、第一次数学危机…及其关系…”荟（huì）文苑（yuàn）说，“让学生了解第一次数学危机的意义…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…
“让学生明了科学道路的艰辛，为科学献身的伟大和崇高。知道世界上不是什么都一帆风顺的…”荟文苑接着说，“培养学生崇尚科学，客观推演，不要主观臆（yì）断的好习惯…”
…明：亮，与“暗”相对…
…了：知晓，了解…
…明了：1.清楚地知道或懂得——你的意思我～，就这样办吧。2.清晰；明白——简单～…最早出自于《后汉书·方术传下·华佗》：“鲁女生数说显宗时事，甚明了，议者疑其时人也。”…
…臆：无根据的；主观的…
…臆断：凭臆测而下的决断；主观地判断、推测做出的决定…
…臆测：无根据地主观推测；凭想象揣测…
…
“约公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛）——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一…此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦…”荟文苑说。
…米利都：古希腊城邦，位于小亚细亚大陆（今土耳其所在地）西海岸…
…萨摩斯岛（Samos Island）：希腊岛屿。在爱琴海东部，是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿。和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡…

“毕达哥拉斯的父亲是一个富商…毕达哥拉斯九岁时，被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习…在这里，毕达哥拉斯接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲到小亚细亚旅行（父亲到小亚细亚是为了做生意）…”荟文苑接着说。
…提尔（黎巴嫩古城）一般指推罗…
…苏尔（…阿卡德语：?urru, 希腊语：Τ?ρο?）：又译泰尔、提洛、提尔，基督教《圣经》译本翻译为“推罗”…是黎巴嫩南部行政区中的城市…苏尔城延伸突出于地中海上…
…闪族一般指闪米特人…
…闪米特人：“闪米特人”一词由德国人August Ludwig von Schl?zer（1735—1809）于1781年提出，用来指代民族语属于亚非语系闪米特语族的人群，灵感来自《圣经》诺亚的长子Shem（闪）。
闪米特人不是单一民族，而是包含了母语属性有关联的一群民族…这些民族上古的亲疏关系尚不明确…
（…诺亚：《圣经》人物，曾制造“诺亚方舟”…）
“公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯（提洛岛）等地，拜访了泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生…在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐…”荟文苑继续说。
…提洛岛：爱琴海上的一个岛屿，位于基克拉泽斯群岛的中部…是群岛心脏，也是群岛中最小的岛屿之一…在古代，这里是爱琴海上的宗教、政治与商业中心…提洛岛目前几乎无人居住…
（…基克拉泽斯：爱琴海南部一个群岛…）

“抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字，埃及神话、历史、宗教…
请看下集《欧几里得15、科学和哲学之祖：泰勒斯；毕达哥拉斯的人生…》”
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欧几里得15、科学和哲学之祖：泰勒斯；毕达哥拉斯的人生…

泰勒斯（公元前624年？—公元前547或546年）：古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，出生于爱奥尼亚的米利都城，创建了古希腊最早的哲学学派，是希腊最早的哲学学派——米利都学派（也称爱奥尼亚学派）的创始人…古希腊七贤之一…西方思想史上第一个有记载（有名字留下来）的思想家，被称为“科学和哲学之祖”…泰勒斯是古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家…泰勒斯的学生有阿那克西曼德等…
…伊奥尼亚：古希腊对小亚细亚（今土耳其所在地）西南海岸地区的称呼…
…米利都：见《欧几里得14》…
阿那克西曼德（希腊文?ναξ?μανδρο?，英文Anaximander，约公元前610年-约公元前545年）：古希腊哲学家，据传是“哲学史第一人”泰勒斯的学生…出生于米利都…据说曾率领使节团到斯巴达，在那里向斯巴达人展示他的两项发明——日晷（guǐ）与世界地图…曾经担任过一个米利都殖民地的领袖…
…晷：日影。比喻时间…
…日晷：古代计时仪器…
菲尔库德斯：神话作家…与泰勒斯同属“希腊七贤”…爱神丘比特这个形象就是他描绘出来的…
克莱非洛斯：古希腊诗人…
“公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄（xù）上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见…”荟（huì）文苑（yuàn）最后说。
…蓄：积聚；储存起来——～洪…
…萨摩斯：毕达哥拉斯故乡，见《欧几里得14》…
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…

“当地人认为毕达哥拉斯标新立异，鼓吹邪说…毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及…途中他在腓（féi）尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修…”荟文苑说。
…腓尼基：古希腊对今黎巴嫩地域的称呼…
…提尔：黎巴嫩古城…见《欧几里得14》…
“抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字，埃及神话、历史、宗教…”荟文苑接着说，“同时，毕达哥拉斯宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬…有不少人到他的门下求学…”
“毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校…但是没有达到他预期的成效…”荟文苑继续说，“公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，毕达哥拉斯与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛…后定居克罗托内…”
…西西里岛：意大利岛屿…
“意大利地图像只靴子…靴子的脚前掌就是西西里岛…”网友说。
…克罗托内：意大利地名…
“意大利地图像只靴子…克罗托内在脚底板中间…”网友说。
“在克罗托内，毕达哥拉斯广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体——毕达哥拉斯学术团…”荟文苑最后说。

““按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的…毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲…”荟文苑说，“热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了…”
请看下集《欧几里得16、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知；毕达哥拉斯之死；数本思想…》”
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欧几里得16、毕达哥拉斯和妻子西雅娜的相识相知；毕达哥拉斯之死；数本思想…

“毕达哥拉斯的演讲吸引了各阶层人士…很多上层社会的人士来参加演讲会…按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的…毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲…”荟（huì）文苑（yuàn）说，“热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…
“毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个社团，这个社团里有男有女，地位一律平等…社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩…”荟文苑接着说，“每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到‘心灵的净化’…”
（“毕达哥拉斯建立的这个团体形成了以后的毕达哥拉斯学派。后又叫南意大利学派，”荟文苑说。）
“他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说…他们相信：依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体；通过数学能窥探神的思想；万物都包含数，甚至万物都是数；数是变化多端的世界背后的真相…”荟文苑继续说，“这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别…”

“学派成员有着共同的哲学信仰和政治理想…他们吃着简单的食物，进行着严格的训练…学派教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从…他们在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生了相当大的影响…也因此引起了其它派别的嫉恨…”荟文苑最后说，“后来他们受到民主运动的冲击…社团在克罗托内的活动场所遭到了严重破坏…毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年被暗杀去世，享年80岁…”
…克罗托内：见《欧几里得15》…
…塔兰托：？？？…
“意大利地图像只靴子…塔兰托在脚后跟…”网友说。
“毕达哥拉斯的许多门徒逃回希腊本土…在希腊本土重新建立据点…另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动…直到公元前4世纪中叶…”荟文苑说。
“毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久…”荟文苑最后说。
…
“毕达哥拉斯学派有着‘数是万物本源’的数本思想…”荟文苑说。
“毕达哥拉斯学派认为从数量上看，夏天是热占优势，冬天是冷占优势，春天是干占优势，秋天是湿占优势…最美好的季节是冷、热、干、湿等元素在数量上均衡分布的季节…”荟文苑接着说，“数量上的均衡分布…毕达格拉斯学派称之为‘和谐’…”
（“毕达格拉斯学派注重和谐…”荟文苑说。）
“最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派…他们很重视数，企图用数来解释一切…”荟文苑继续说。

“他们宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘…他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了‘5’这个数…
请看下集《欧几里得17、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步…》”
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欧几里得17、“抽象”的含义与数的诞生；哲学和实用数学的巨大进步…

“最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派…他们很重视数，企图用数来解释一切…”荟（huì）文苑（yuàn）继续说，“他们宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘…他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了‘5’这个数…”
…荟文苑：某老师在网上的网名，见《欧几里得13》…
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…
“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。
…
“从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了‘5’这个数…这在今天看来，是很平常的事（这在今天看来，也异乎寻常），但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步…”荟文苑最后说，“在实用数学方面，它使得算术成为可能。在哲学方面，这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础…”
“在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型：数量和形状决定一切自然物体的形式；数不但有量的多寡，而且也具有几何形状——在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源…”荟文苑说。
…形式：某物的样子和构造，区别于该物构成的材料…即“事物的外形”；也指办事方法…

“因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先…”荟文苑接着说。
“自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从‘数的和谐’，即服从数的关系…”荟文苑继续说，“所以，他们将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数（见《欧几里得11》）等。认为‘万物皆数’，‘数统治宇宙’…只不过，毕氏的数是整数…”
“他们坚持的信条是：‘宇宙间的一切现象都可以归于整数与整数之比（整数与整数之比即现在所说的有理数）。’即一切现象都可以用有理数来描述…”荟文苑最后说。
…信条：忠实遵守的准则…
…
“他们认为‘任何两条线段，总有一个最大公度线段。’…”荟文苑说。
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
…
“整数是计算过程中产生的抽象概念…日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间…为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数包括所有整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的…”荟文苑说。

“据说，希帕索斯由于发现了无理数，从而遭到毕达哥拉斯学派的追杀。他虽逃到了埃及，但几年之后，在回国途中，还是被人扔到海里淹死了…
请看下集《欧几里得18、有理数的几何解释；希帕索斯之死；柏拉图学生——欧多克斯》”
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欧几里得19、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？

“200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
“欧多克斯处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。
…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…
…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…
网上名为《数学的真相》的PPT，对欧多克斯处理不可公度的办法，进行了尽可能简洁的描述：

“欧多克斯给出的比例新定义，消除了几何上的危机…”PPT作者说。
…几何上的危机：？…
“‘当正方形的边长是1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”现代学者说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
“按‘万物皆数’理论（见《欧几里得16、17》），这个对角线是数，但是…人们无法用数将它表示出来…”现代学者接着说，“人们也无法从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’是什么…”
“欧多克斯的比例新定义出现后，人们知道了：正方形的对角线…它的长度和边长成比例…它是比例当中的一个变量…”现代学者继续说，“人们能从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’了…”
…比例：在数学中，表示两个或多个比相等的式子…
“在数学中，如果一个变量的变化总是伴随着另一个变量的变化，则两个变量是成比例的…”学者说，“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系…”
“在几何上，人们知道了‘边长1的正方形的对角线’是什么…”现代学者最后说，“由此，几何上的危机得到解决…”
…
“比例的新定义是——定理：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”PPT作者接着说。
…定理：被证明为正确，作为推理的依据的真命题…
（…推理：也是“证明”的意思…
…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…
…真命题：正确的命题…）

““数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释…”现代学者说，“这里暂时把它理解成‘数的集合’‘数的总称’…”
请看下集《欧几里得20、欧多克斯的证明；算术与几何；数系与数轴》”
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欧几里得20、欧多克斯的证明；算术与几何；数系与数轴

“比例的新定义是——定理：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”PPT作者接着说。
…PPT作者：《数学的真相》PPT的作者…
…
“三角形面积公式是底乘高除以2。面积用S表示，底用a表示，高用h表示，三角形面积公式就是：s=1/2ah…”现代学者说。
“三角形1的面积公式是s1=1/2a1h1，三角形2的面积公式是s2=1/2a2h2，它们比一下就是s1/s2=（1/2a1h1）/（1/2a2h2）…”现代学者接着说，“高相同…高都用h表示…比例公式就变成s1/s2=（1/2a1h）/（1/2a2h）…”
“1/2约掉，h约掉，于是得出s1/s2=a1/a2，即：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”现代学者最后说。
…
“对于比例的新定义，毕达哥拉斯学派的证明是：假设线段BC，DE分别是某共度线段的P倍和q倍；将△ABC和△ADE分别分成p和q个小三角形。则△ABC/△ADE=p/q=BC/DE…”PPT作者继续说。
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…

“毕达哥拉斯学派的证明比欧多克斯的证明简洁得多，这里就不阐述欧多克斯的证明了…只展示下图片：”PPT作者最后说。

“‘无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来’…‘边长1的正方形的对角线长度’既不是整数也不是分数…它是种新的数…”PPT作者说。
“当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称‘有理数’…新发现的数不好理解，就取名为‘无理数’…”PPT作者接着说。
“无理数的发现，引发了人们对数系的思考…”PPT作者继续说。
…数：表示事物的量的基本数学概念。由于生产实践对计数和测量的需要，首先产生了自然数（正整数），后又逐渐产生了分数、零、无理数、负数、虚数等…
（“‘计数’是算术，‘测量’是几何…”现代百姓说。）
…系：有联属关系的——～统，～列，水～；某些学科中分类的名称——汉藏（zàng）语～，寒武～（地质学名词）…
…数系：？？？…
“数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释…”现代学者说，“这里暂时把它理解成‘数的集合’‘数的总称’…”
…
“古代数学家认为，有理数能把数轴上的点用完…发现无理数后，人们知道了：数轴上除了有理数，还有无理数…”PPT作者最后说。
…数轴：数字按大小顺序排列，形成的轴…数字组成的轴…
…轴：穿在轮子中间的圆柱形物件——～心，轮～；数学上指一条直线，周围的点围绕它旋转，或是用它作为确定各点位置的标准——转动～，坐标～…
“数字按大小顺序整齐的排成一列，就好像有轴把它们串起来一样…因此，把这种排列叫数轴，”现代百姓说。

““人们发现，有理数、无理数…它们都是实际存在的数…”PPT作者最后说，“于是，人们给它们取名‘实数’…”
请看下集《欧几里得21、诡异逻辑；集合与定义；“数轴是什么”与实数的诞生…》”
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欧几里得21、诡异逻辑；集合与定义；“数轴是什么”与实数的诞生…

“人们原来认为‘数轴是表示有理数的轴’、‘数轴就是有理数’、‘有理数按顺序从小到大排列，形成了数轴’…”PPT作者说，“发现无理数后，人们知道了：数轴由有理数和无理数一起组成…”
…数轴：见《欧几里得20》…
…PPT作者：《数学的真相》PPT的作者…
“于是…出现了一个问题：数轴是什么？…”PPT作者接着说，“原来，人们认为，数轴是有理数…‘数轴由有理数和无理数组成’，这个数学事实被发现后，人们得到了一个诡异结论：数轴是有理数、无理数…”
“这句话有很多不同的叙述方式：有理数、无理数是数轴；有理数是数轴，无理数也是数轴；数轴既是无理数，又是有理数…”PPT作者继续说，“按这个逻辑推理下去，会得出‘无理数等于数轴等于有理数（无理数=数轴=有理数）’这个荒唐结论…”
“显然，‘无理数=数轴=有理数’不符合事实（不符合数学事实）…”PPT作者最后说，“有理数、无理数一起组成了数轴…数轴是有理数、无理数的集合…”
…集：1.集合；聚集——汇～，～思广益。2.集市——赶～。3.集子——诗～，文～。4.某些篇幅较长的著作或作品中相对独立的部分——影片上下两～…
…合：1.闭；合拢——～眼，笑得～不上嘴。2.结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）——～办，同心～力。3.全——～村，～家团聚。4.符合——～情～理，正～心意。5.旧小说中指交战的回合——大战三十余～。6.在太阳系中，当行星运行到与太阳、地球成一直线，并且地球不在太阳与该行星之间的位置时，叫做合…

…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
“也就是说，数轴是‘有理数、无理数的集合’…”PPT作者说，“那么，‘有理数、无理数的集合’是什么…”
“这是一个新东西…新东西，意味着，人们要给它下定义，人们要给它起名字…”PPT作者接着说，“人们要描述它是什么…”
…定义：对事物做出的明确描述；对一种事物的本质特征或一个概念的内涵的确切而简要的说明…
…下定义：用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括的说明方法…
“有理数、无理数是什么？有理数、无理数的本质特征是什么？…”PPT作者继续说，“人们对这些问题进行了思考…”
“人们发现，有理数、无理数…它们都是实际存在的数…”PPT作者最后说，“于是，人们给它们取名‘实数’…”
…
“‘实数’诞生了…”PPT作者说。
“用‘实数’解释数轴…人们得到了以下结论：数轴由实数组成；实数组成了数轴；数轴是实数；实数是数轴…”PPT作者说，“这些都是符合数学事实的…”

““数学家擅长用数学分析错综复杂的自然界…”现代学者说，“他们会将自然界的景象抽象成数字，然用数字组成的公式——函数，描述景象的过去、现在、以及未来…”
请看下集《欧几里得22、用数字组成的公式（函数），描述世界的过去、现在、以及未来…》”
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欧几里得23、耳听为虚，眼见为实——无理数是否存在？

“虽然普通人被灌输：世界上有无理数；无理数是存在的…”现代学者接着说，“但他们其实并没有见过无理数…”
（“仔细回想一下，我们是从什么时候起，开始认为世界上存在无理数？…”现代学者说，“没错，学校的老师这样给我们说的…于是我们认为世界上存在无理数…”）
“一旦普通人开始认真思考，他们会质疑无理数的根本：无理数是否存在？…”现代学者继续说。
…
“其实，这是一个思维方式的问题…”另一位现代学者说，“虽然我们看不到无理数，但是，我们依旧能得出‘世界上存在无理数’这个简单数学事实…”
…思维方式：思考的方法…
“例如，对于圆来说，我们知道，直径是存在的（直径的长度是存在的），周长也是存在的…”现代学者接着说，“显而易见，周长除以直径的值，也是存在的…”
“周长除以直径的值，就是我们所说的圆周率…”现代学者继续说。
“同理…对于边长为1的正方形…边长是存在的，对角线也是存在的…”现代学者最后说，“对角线的长度，就是对2进行开方运算后，得出的那个数…虽然我们无法将它写出来，但是我们知道，那个数是存在的…”

“人们无法直接写出无理数…所以，人们采用间接的方法，表示无理数…”现代学者说。
…直接：不经过中间事物…
“直接是不经过中间事物，直接与对象进行关联…”网友说。
…间接：经过中间事物…
“间接是与对象发生关联时，必须借助一个中间媒介才能产生关联，没有中间媒介就不会产生关联…”网友说。
“人们用字母或根号间接表示无理数…”现代学者接着说，“例如，人们用π表示圆周率…”
“‘π表示圆周率’，做出这个定义后，我们看到π，就会联想到圆周率…”现代学者继续说，“通过‘π’这个媒介，我们将‘圆周率’这个无理数表示了出来…”
“同理，人们用根号2（√2），表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数…”现代学者最后说。
“2是存在的，对2进行开方运算后，得出的数也是存在的…”现代学者说，“只是人们无法把它写出来…”
“‘对2进行开方运算（根号2）’，人们用这种方法，表示对2进行开方运算后，得出的那个无理数…”现代学者接着说。
…
“人们通过根号2（√2）这个媒介，将‘对2进行开方运算后，得出的无理数’表示了出来…”现代学者最后说。
“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比（见《欧几里得19~20》）…”荟（huì）文苑（yuàn）说。

“狄德金1850年进入哥廷根大学，成为C·F·高斯的学生，1852年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识…
请看下集《欧几里得24、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名》”
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欧几里得24、数学家狄德金；哥廷根大学；QS世界大学排名；泰晤士世界大学排名

“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比（见《欧几里得19~20》）…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。
狄德金：德国数学家…1831年10月6日生于不伦瑞克（德国中北部城市），1916年2月12日卒（zú）于同地…
…卒：死亡——生～年月…
狄德金1850年进入哥廷根大学，成为C·F·高斯的学生，1852年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识。1854年起在哥廷根大学任讲师。在哥廷根他与任教的P·G·L·狄利克雷和B·黎曼结为好友。后来狄利克雷和黎曼的全集都是由狄德金编辑的。1858年他应聘到瑞士苏黎世综合工科学校任教。1862年回到不伦瑞克综合工科学校教书…

…哥廷根大学：乔治·奥古斯都·哥廷根大学（德文：Georg-August-Universit?t G?ttingen，拉丁文：Universitas Regi? Georgi? August?）简称哥廷根大学，因德国汉诺威公爵兼英国国王格奥尔格二世创建而得名。哥廷根大学坐落于德国西北部的下萨克森州南部哥廷根市。作为一所世界一流综合研究型大学，哥廷根大学是科英布拉集团、德国精英大学、U15大学联盟重要成员…哥廷根大学名人辈出，蜚（fēi）声世界，设有马克斯·普朗克生物物理化学研究所、以及马克斯·普朗克太阳能研究所，使哥廷根大学在生物物理领域以及能源领域长期保持世界领先地位…截止至2017年，从哥廷根大学走出的诺贝尔奖获奖人数为45人，数量为德国第2位、世界第15位…哥廷根大学在2018年QS世界大学排名位居世界第114位，在2019年泰晤士世界大学排名位居世界第123位…
…科英布拉集团（英文名称The Coimbra Group，简称CG）：是成立于1985年的欧洲最古老及最富声望的大学联盟，由23个国家的39所大学组成，包括杜伦大学、爱丁堡大学、日内瓦大学、哥廷根大学等全球一流学府。其得名于葡萄牙的科英布拉大学（欧洲最古老的大学之一）…
…U15大学联盟（德语：German U15 Universit?ten）：是由德国15所著名研究型大学组成的高校联盟。联盟成立于2012年10月12日，宗旨为改善德国科研和教育的架构…
…蜚：古同“飞”…
…蜚声：扬名——～海内外…
…QS世界大学排名：由英国一家国际教育市场咨询公司Quacquarelli Symonds（简称QS，中文名夸夸雷利·西蒙兹公司）所发表的年度世界大学排名…QS世界大学排名将学术声誉、雇主声誉、师生比例、研究引用率、国际化作为评分标准…因其问卷调查形式的公开透明而获评为世上最受注目的大学排行榜之一，但也因具有过多主观指标和商业化指标而受到批评…

““尽管‘分析’作为一个正式的概念在近年来才逐步建立起来，但是…这一技巧自亚里士多德时代，就已经被人们应用在了数学、逻辑学等多个领域…”现代学者说。
请看下集《欧几里得25、尤利乌斯·戴德金；代数；一项被普遍应用的技术——“分析”》”
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欧几里得25、尤利乌斯·戴德金；代数；一项被普遍应用的技术——“分析”

…泰晤士世界大学排名：《泰晤士报高等教育特刊》（以下简称《特刊》）公布的世界大学排名…泰晤士世界大学排名参考五大指标，按不同比重评分，包括教学、研究、论文引用、国际化及企业创新资金投入…
“狄德金，又译戴德金…”现代学者说。
尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）：德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…见《欧几里得17》…
…哥廷根大学：见《欧几里得24》…
1831年10月6日，戴德金生于德国下萨克森州（位于德国西北部）东部城市不伦瑞克一知识分子家庭。父亲为法学教授，母亲亦出身于知识分子家庭。
戴德金早年在不伦瑞克大学预科学习化学和物理。
…预科：？？？…
“大家知道预科是什么意思吗？…很多想出国留学的同学应该知道预科的意思…但是大部分人还是不知道预科是什么意思…”网友说。
“预科一般指大学基础课程，也可以说是大学的学前预备教育…”网友接着说。
“想要出国留学的同学需要在海外读一年的预科来适应国外的生活以及学习方式…完成了一年的预科之后，再根据成绩好坏决定能否升入原先选择的院校…”网友继续说。
“成绩非常优异情况下，还可以转入比之前选的大学更好的大学进行学习…”网友最后说。

1848年，戴德金进入卡罗莱纳学院学习力学、微积分、代数分析、解析几何和自然科学。
…代数：数学的分支学科。通过用字母代表数进行运算。能简明地表示数量关系，可以解决用算术难以解决的问题…
…析：1.分开；散开——分崩离～。2.分析——剖～，解～几何…
…分析：把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的关系（跟“综合”相对）——化学～，～问题，～目前国际形势…
“分析（英语：Analysis）是在头脑中把事物或对象由整体分解成各个部分，或将对象的各种属性抽离出来（俗称“抽象”）…”现代学者说。
“尽管‘分析’作为一个正式的概念在近年来才逐步建立起来，但是…这一技巧自亚里士多德时代，就已经被人们应用在了数学、逻辑学等多个领域…”现代学者接着说。
…解：1.分开——～剖，瓦～，难～难分。2.把束缚着或系着的东西打开——～扣儿，～衣服…
…解析：拆解分析…
…几何：汉语词语，一般指几何学…
…几何学：研究空间图形的形状、大小和位置的相互关系的科学…

“毕业后…找不到工作的戴德金于1854年留校任代课讲师。
请看下集《欧几里得26、算术的起源；有理数和无理数可以构成无空隙的实数连续系统吗？》”
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欧几里得26、算术的起源；有理数和无理数可以构成无空隙的实数连续系统吗？

…解析几何（几何学分支）一般指坐标几何…
…坐标几何：指借助笛卡尔坐标系。由笛卡尔、费马等数学家创立并发展。它用代数方法研究几何对象之间的关系和性质。是几何学分支，亦叫做解析几何…
1850年，戴德金转入哥廷根大学新办的数学和物理学研习班…跟从数学家C.F.高斯研究最小二乘法和高等测量学，跟从斯特恩攻数论基础，跟从韦伯攻物理…戴德金还选修了天文学。
1852年，戴德金以题为《关于欧拉积分的理论》一论文获得哲学博士学位。
毕业后…找不到工作的戴德金于1854年留校任代课讲师。
1855年高斯去世后，戴德金在哥廷根大学又先后听过狄利克雷教授的数论、位势理论、定积分和偏微分方程，以及波恩哈德·黎曼教授的阿贝尔函数和椭圆函数等课程，进而萌生了借助于算术性质来重新定义无理数的想法。
（…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…）
…算术：数学的一个分支，是数学中最基础、最初等的部分。主要研究零和正整数、正分数的记数法，在加、减、乘、除、乘方、开方运算下产生的数的性质、运算法则、以及它们在社会实践中的应用…
“算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分，它研究数的性质及其运算…”现代学者说，“把数、数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术…”

“在古代，全部数学就叫做算术…现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的…”现代学者接着说，“后来，算学、数学的概念出现了…它们代替了算术的含义，包括了全部数学…算术就变成了其中的一个分支。”
…数论：隶属于“纯粹数学”…主要研究整数的性质…
…纯粹数学：一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问。研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学（如理论物理、理论化学）有密切的关系…
…算：计算数目…
…算学：计算数目的学问；算术…
…数：数目…
…数学：数目的学问；研究事物数量和形状规律的一门学科…
1855年起，戴德金开始讲授伽（gā）罗瓦理论，成为教坛上最早涉足这一领域的学者。
1858－1862年，戴德金在苏黎世综合工业学院任教授…这段时间，他主要进行实数理论基础的研究。
1862－1912年，戴德金任不伦瑞克（德国中北部城市）高等技术学校教授…在此期间，他发展了理论：有理数和无理数可以构成一个（无空隙的）实数的连续系统…
“前提是实数和直线上的点有着一一对应的关系…”戴德金说。

“归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）——大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
请看下集《欧几里得27、归纳和推理；归纳推理；白天鹅与按时发放的工资…》”
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欧几里得27、归纳和推理；归纳推理；白天鹅与按时发放的工资…

1862－1912年，戴德金先后当选为法国科学院、柏林科学院和罗马科学院院士。
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。
…归纳：？…
…完全数学归纳法：？？？…
…映象：？…
…结构：？…
…理论：？…
…结构理论：？？？…
一个一个讲吧…
归纳：1.归拢并使有条理（多用于抽象事物）——大家提的意见，～起来主要就是这三点。2.一种推理方法，由具体事实概括出一般原理（跟“演绎”相对）…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…见《欧几里得17》…
“数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性结论的思考方法…”现代百姓说，“是种从部分到整体，从特殊到一般，从个别到普遍的推理…”
…推理：由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程…
归纳法一般指归纳推理。
归纳推理：由个别到一般的推理。
“例如：在一个平面内，直角三角形内角和是180°；锐角三角形内角和是180°；钝角三角形内角和是180°…直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°…”现代学者说，“这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180°这些个别性知识，推出了‘一切三角形内角和都是180°’这样的一般性结论，就属于归纳推理…”
…直角：90°的角…
…锐角：大于0°小于90°的角…
…钝角：大于90°小于180°的角…
…直角三角形：1个角是直角的三角形…
…锐角三角形：3个内角都是锐角的三角形…
…钝角三角形：1个角是钝角的三角形…

“所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理…”现代百姓说。
…性质：事物本身所具有的、区别于其他事物的特征…
“比如说你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’…”现代百姓接着说，“天鹅是一类事物…你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的一部分（是部分天鹅）…你根据‘部分天鹅是白色的’这个事实推出结论——天鹅都是白色的…’
“这是归纳推理…”现代百姓最后说。
“再比如说你每月按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’…”现代百姓说，“工资是一类事物…你的工资是‘工资’这类事物的一部分…你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论——工资都是按时发的…”

““完全的词意是‘全部’…”现代学者说，“完全归纳推理…顾名思义…就是考察了（某类事物的）全部对象的归纳推理…”
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欧几里得28、归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理

“再比如说你每月按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’…”现代百姓说，“工资是一类事物…你的工资是‘工资’这类事物的一部分…你根据‘自己工资是按时发的’这个事实推出结论——工资都是按时发的…”
“这也是归纳推理…”现代百姓继续说。
“当然，有的工资是不按时发的…”现代百姓最后说，“根据我的经验…大部分工资是不按时发的…”
…
“传统上，根据考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理…”现代学者说。
…考察：1.实地观察调查——他们到各地～水利工程。2.细致深刻地观察——进行科学研究，必须勤于～和思索，才能有成就…
…对象：1.行动或思考时作为目标的人或事物——研究～。2.特指恋爱的对方——找～。他有～了…
“完全归纳推理考察了某类事物的全部对象…”现代学者接着说，“比如上集（《欧几里得27》）说到的三角形…”
“在一个平面内，直角三角形内角和是180°；锐角三角形内角和是180°；钝角三角形内角和是180°…直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形，所以，平面内的一切三角形内角和都是180°…”现代学者继续说，“这个例子中，考察对象是‘三角形’，考察范围是‘全部’…考察了全部三角形后，归纳出‘一切三角形内角和都是180°’的结论…”
“这是完全归纳推理…”现代学者最后说。

“不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象…”现代学者说，“比如上集说到的白天鹅和工资…”
（“当然，这集也说到了工资…”现代学者说。）
“你看到的都是白天鹅，然后你说‘天鹅都是白色的’…”现代学者接着说，“这个例子中，考察对象是‘天鹅’，考察范围是‘你看到的天鹅’…考察了你看到的天鹅后，归纳出结论——天鹅都是白色的…”
“你看到的天鹅是‘天鹅’这类事物的部分对象…”现代学者继续说，“这是不完全归纳推理…”
…
“你每月按时领到工资，然后你说‘工资都是按时发的’…”现代学者说，“这个例子中，考察对象是‘工资’，考察范围是‘你的工资’…考察了你的工资后，归纳出结论——工资都是按时发的…”
“你的工资是‘工资’这类事物的部分对象…”现代学者最后说，“这也是不完全归纳推理…”
…完全：1.齐全；不缺少什么——话还没说～。四肢～。2.全部；全然——～同意。他的病～好了…
“完全的词意是‘全部’…”另一位现代学者说，“完全归纳推理…顾名思义…就是考察了（某类事物的）全部对象的归纳推理…”
“不完全，意思是‘不是全部’‘缺少部分内容的’…”现代学者接着说，“不完全归纳推理…就是考察了（某类事物的）部分对象的归纳推理…”

“…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
请看下集《欧几里得29、数学归纳推理；实践得出公理，公理指导实践；映象、结构与理论》”
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欧几里得29、数学归纳推理；实践得出公理，公理指导实践；映象、结构与理论

1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。
…归纳：见《欧几里得27~28》…
…数学归纳法（数学归纳推理）：一种数学证明方法，通常被用于证明某个命题在整个（或者局部）自然数范围内成立…
（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
“原理是最基本的、可以作为其他规律的基础的规律…”现代百姓说，“科学原理以大量的实践为基础，故其正确性能被实践所检验与确定…从科学原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题，从而对实践起指导作用…”
“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓接着说。
…公理体系一般指公理系统…
…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
…
…映：1.照——炉火把他的脸～得通红。～射。2.因光线照射而显出物体的形象——水面倒～着美丽的白塔。新片上～…

…象：1.哺乳动物，是陆地上现存最大的动物。耳朵大，鼻子长。2.形状；样子——景～。天～。气～。印～。万～更新。3.仿效；模拟——～形。～声…
…映象（心理学名词）：脑对客观事物的主观反映（客观事物在脑海中显示的形状）…
…结：发生某种关系；结合——～仇。～社。～为夫妻…
…构：繁体字是“構”。“冓（gōu）”意为“碰头”，“木”指木材、木条，“木”与“冓”联合起来表示“木条的头部相互衔接”…构本义（一个词的最初含义）是“木工制作”…
…结构：1.建筑物承受重量和外力的部分及其构造。按材料分有钢结构、木结构、钢筋混凝土结构、砖石结构和混合结构等。按形式分有拱桁（háng）架、薄壳结构和悬索结构等。2.构成整体的各个部分及其结合方式——经济～。文章～。3.文艺作品的内部构造。即作品的各个部分（包括内容和形式）之间的联系…
…理：1.物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～。2.道理；事理——合～。～屈。～当如此。3.自然科学，有时特指物理学——～科。数～化。4.管理；办理——处～。～财。当家～事。5.整理；使整齐——～发。～一～书籍…
…论：1.分析和说明道理——评～。议～。2.分析和说明道理的言论、文章或理论——舆～。社～。历史唯物～…
…理论：概念和原理的体系。是系统化了的理性认识。正确的理论是客观事物的本质和规律的正确反映；来源于社会实践，并指导人们的实践活动…

“戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名…他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
请看下集《欧几里得30、戴德金分割——从算术角度，回答了“无理数是什么”》”
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欧几里得30、戴德金分割——从算术角度，回答了“无理数是什么”

…结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性…
（…溯：1.沿水逆流而上。2.往上推求和回想…
…追溯：逆流而上，向江河发源处走，比喻探索事物的由来——两国交往的历史可以～到许多世纪以前…）
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。
…归纳：见《欧几里得27~28》…
…数学归纳法：见《欧几里得29》…
…映象：见《欧几里得29》…
戴德金于1916年2月12日在不伦瑞克去世。
…不伦瑞克：德国中北部城市…
尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是…它们影响了现代数学的发展…
…
戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名…他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
…定义：对一种事物的本质特征的确切而简要的说明…
…无理数的纯算术定义：？…
“欧多克斯曾给出无理数的几何定义（见《欧几里得19~20》）——欧多克斯曾从几何角度回答了‘无理数是什么’这个问题…”现代百姓说。
“这里，戴德金给出了无理数的算术定义…”现代百姓接着说，“戴德金用‘戴德金分割’，从算术角度，回答了‘无理数是什么’这个问题…”

【戴德金分割】
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：代数中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…

““英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
请看下集《欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…》”
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欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…

【戴德金分割】1
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：算术中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…
“在数学集合（简称‘集’）中，元素指组成集的每个对象…”现代学者说，“换言之，集合由元素组成…”
…换言之：换句话说…
“组成集合的每个对象被称为组成该集合的元素，如集合{1，2，3}中，1、2、3都是集合的一个元素…”现代学者接着说。
…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素：？？？…
“A中的元素可以用a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…表示，B中的元素可以用b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…表示，”现代学者说，“‘A中的每一个元素都小于B中的每一个元素’指的是，在‘a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…’这些元素中，随便挑一个元素，让它和B中的元素去比较…它必须小于B中的元素…”
“这里…‘B中的元素’…也是随便挑的…”现代学者接着说。

【戴德金分割】2
对于任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“这句话的意思是：对于任一分割，一定有3种可能，其中有、且只有1种成立…”
【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”

““数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
请看下集《欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3》”
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欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3

【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”
…
“其实…即便我们发现新知识了…我们很可能还是用英文字母表示它们…”另一位现代学者说，“因为英文字母更简洁…”
“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字…也是这个道理…”现代学者接着说。
“人类喜欢简洁…”现代学者最后说。
…
“A有一个最大元素a——这个‘最大元素a’可以写作‘a（max）’…”现代学者说，“B没有最小元素…”
“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数…”

【戴德金分割】4
分割的3种可能…第2种：B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数。
“数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
“B有b（min），A没有最大元素…即：集合B包含b（min）及所有大于b（min）的有理数，集合A包含所有小于b（min）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数…”
【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”

““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
请看下集《欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…》”
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欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…

【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数…”现代学者继续说。
【戴德金分割】6
根据大前提（见《欧几里得31》），集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有有理数。（√2不是有理数。）
√2又是确确实实存在的一种数。
…
戴德金称第3种分割定义了一个无理数…或者简单的说这个分割就是一个无理数。
前面2种情况中（见《欧几里得32》），分割是有理数。
这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点…数轴上的点，统称实数。
“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系…”戴德金说。

【戴德金分割】7
思考题：戴德金分割的第4种可能——A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
“这是不可能的，因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数——1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾…”现代学者说。
…前提：可以推出另一个判断的判断，如三段论中的大前提、小前提（见《欧几里得3》）…
【戴德金分割】8
“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
“这样的话…这个分割…既不是有理数，又不是无理数…”现代学者接着说，“这种分割不是一个数…这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割…”
“存在这样的戴德金分割吗？…其实，这样的戴德金分割是不存在滴…”现代学者继续说，“问题的关键点在于‘1.000…1’…”
“‘1.000…1’是什么？…根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’…可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）…”现代学者最后说，“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’…”

““需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
请看下集《欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…》”
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欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…

“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它…‘比1稍大的有理数’，其实是无理数…”现代学者说。
“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数…”现代学者接着说。
“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实就是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得32》）…”现代学者最后说。
对戴德金分割…网友“汇知园”有自己的思考…
…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
…知：知识…
…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
…汇知园：聚集知识的园子…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”汇知园说。
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限；范围…
…上界：上面的界限；上面的范围…
“数学上的‘上界’…是什么意思？”不明真相的吃瓜网友问。
“…一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界…”网友“陈健聪smile”回答。
“？？？”吃瓜网友。
…smile：英语，意思是“微笑”…
…陈健聪：这可能是网友的真名…
…陈健聪smile：直译…意思是“陈健聪的微笑”“微笑的陈健聪”——这是网友的网名…

“陈健聪smile”的回答太复杂了，现在对它进行剖析…
（…剖析：解剖分析…）
一个实数集合M…
“‘一个实数集合M’…什么意思呢？…我们一点一点理解…”现代学者说。
“‘实数’的英语表达是——real number…”现代学者接着说，“‘real’的意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’的意思是数字…”
“‘real number’合起来…意思是‘真实的数字；实际存在的数字’…”现代学者继续说。
“‘集合M’…这又是什么意思？”现代学者最后说。
“说起来，数学家是非常懒的——他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”现代学者说。
“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字…”现代学者接着说，“懒得出奇的数学家，便用number里的字母表示数字…”
“n和m，是他们最常用的，表示数字的俩字母…”现代学者继续说。
（“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number【数字】…”一位数学家说，“这叫‘直线思维’…”
…
“你永远无法理解直线思维的美…”数学家最后说。）
“数学家用m表示数字…”现代学者最后说，“随着时代发展…人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”
“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”

““这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
请看下集《欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界》”
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欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界

“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
“他们用‘大m’表示‘数的集合’…‘大m’即‘大写的m’，也就是M…”现代学者接着说，“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿意去找其它字母…”
“这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
一个实数S…
“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S…”现代学者说。
（“这里，‘S’表示某个实数…”现代学者小声说。）
M中任何数都不超过S…
“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}…”现代学者说。
“M里的任何数都不能大于S——满足这个条件的S有很多…我们用刚才的例子进行说明…”现代学者接着说。
“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”现代学者继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S…”现代学者最后说。
称S是M的一个上界…

“…用刚才的例子进行说明…5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等…”现代学者说。
…
“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’…现在你理解这句话了吧…”现代学者最后说。
（“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点…”现代学者说。）
“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界…”网友陈健聪smile说。
（…陈健聪smile：见《欧几里得34》…）
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限…
…确：确定…
…上界：上面的界限…
…上确界：上面确定的界限…
“…我们继续用前面的例子说明…”现代学者说，“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”
“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界…”现代学者接着说，“5就是M的上确界…”
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”

““大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园接着说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
请看下集《欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…》”
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硬核好文，学习学习

欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…

“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
…陈健聪smile：见《欧几里得34》…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
…前面的例子：指集合{1，2，3，4，5}…见《欧几里得34》…
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”现代学者接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界…”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5…”现代学者继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’…就是这个意思…”现代学者最后说。
“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’…”现代学者说。
…
“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理…”陈健聪smile说。
…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
“原理可以作为其他规律的基础…”现代百姓说，“从原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题…”
…
“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓最后说。
…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是“线段”】最短；牛顿三定律…”）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…

（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
…公理体系一般指公理系统…
…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
…数集：数的集合…
…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
…非空集合：至少含有一个元素的集合…
…非空数集：至少含有一个数的数集…
…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”

““而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园继续说。
…
请看下集《欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…》”
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欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…

“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
…汇知园：网友网名，见《欧几里得34》…
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
…
“在大学时，我慌慌张张的往前赶课…我们在慌什么呢？…”现代学者问。
“我们为何而慌？…”现代百姓问。
…
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
…分：1.区划开——～开。划～。～解。
2.由整体中取出或产生出一部分——～发。～忧。
3.由机构内独立出的部分——～会。～行（háng）。
4.散，离——～裂。～离。～别。～崩离析。～门别类。
5.辨别——区～。～析。
6.区划而成的部分——二～之一…
…析：1.分开；散开——分崩离～。2.分析——剖～，解～几何…
…分析：把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的关系（跟“综合”相对）——化学～，～问题，～目前国际形势…
…数学分析：以微积分为主要内容，包含微积分理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个数学学科…
（…实数、函数和极限的基本理论：实数基本理论；函数基本理论；极限基本理论…）

“数学分析是大学数学专业的一门基础课程…”现代学者说。
“它是数学中，专门研究实数，复数，实数函数，复数函数…的分支学科…”现代学者接着说。
…分支：从一个系统或主体中分出来的部分——～机构…
“数学分析的发展由微积分开始…后来扩展到函数的连续性、可微分、可积分等各种特性…”现代学者继续说。
“这些特性…应用在对物理世界的研究后…有助于我们发现自然界的规律…”现代学者最后说。
…
“数学分析的主要内容是微积分…微积分的理论基础是极限理论…极限理论的理论基础是实数理论…”另一位现代学者说，
“微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算…”现代学者接着说。
…Differential：英语，意思是“差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差；（汽车）差动齿轮…
…Calculus：英语，意思是“微积分”…
…Integral：英语，做形容词时意思是“必需的；不可或缺的；作为组成部分的；完整的；完备的”，做名词时意思是“整体；积分”…
“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。

““普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
请看下集《欧几里得38、微积分的前世今生；实数理论与微积分；大学教育的真相…》”
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