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[数码]为什么在10进制体系下可以写下“10”，而在二进制体系下写不出“2”? |
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今日看一问题说“为什么10进制有10，而二进制没有2？”这个问题我自然是已经略微知晓了的，但我转念一想，如果将这里数字视为一个文字，在平日里所用的10… |
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十进制下能写出10， 二进制下不能写出2， 问题的原因就在于这个“2”，它并不是二进制里面的东西，而是十进制里面的。 事实上和十进制下能写出10对等的命题是， 二进制下能写出10（注意，这个是二进制下的2，而不是十进制下的十） 而和二进制下写不出2对等的命题是， 十进制下写不出A（十六进制的十） |
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兄弟， 16进制数每一位上有0123456789abcdef。 10进制数每一位上有0123456789。 8进制数每一位上有01234567。 2进制数每一位上有01。 每一位上述都只占一位。 而你问题中的10进制“10”已经是两位数了。请写一个十进制中一位数的“十”出来。然后咱们再来讨论这个问题，谢谢。 |
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多稀奇？ 你十进制也写不出 A 啊。 |
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二进制也可以写出二 :=10" role="presentation">:=10:=10 这是故意混淆概念而提出的问题。进制由字母表和表示规则决定。对于进制 B" role="presentation">BB ，设定字母表为有限集合 Σ" role="presentation">Σ\Sigma ，则该进制下的一个数定义为 Σ" role="presentation">Σ\Sigma 中的字母组成的有限字符串的集合，记作 N(B):=⋃n=1∞Σn" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">N(B):=?n=1∞Σn\mathscr{N}(B):=\bigcup_{n=1}^\infty\Sigma^n\\记 X" role="presentation">X\mathcal{X} 是一个数集，则表示规则是某个 N(B)→X" role="presentation">N(B)→X\mathscr{N}(B)\to\mathcal{X} 的映射，为每一个字符串指定了其“值”或者“大小”。这个映射的像 im[N(B)→X]⊂X" role="presentation">im[N(B)→X]?X\text{im}[\mathscr{N}(B)\to\mathcal{X}]\subset\mathcal{X} 称为这个进制的表示范围，记作 R(B)" role="presentation">R(B)\mathscr{R}(B) 。 例子：设 0}">j∈Z>0" role="presentation">j∈Z>0j\in\mathbb{Z}_{>0} ，我们定义所谓的 j−" role="presentation">j?j- 进制 Bj" role="presentation">BjB_j 如下 ∘" role="presentation">°\circ 字母表 Σj={0,⋯,j−1}" role="presentation">Σj={0,?,j?1}\Sigma_j=\{0,\cdots,j-1\} ，共 j" role="presentation">jj 个可用字母； ∘" role="presentation">°\circ 表示规则是映射 N(Bj)→N,  (dn,⋯,d0)↦∑k=0ndkjk" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">N(Bj)→N, (dn,?,d0)?∑k=0ndkjk\mathscr{N}(B_j)\to\mathbb{N},~~(d_n,\cdots,d_0)\mapsto\sum_{k=0}^nd_kj^k\\ ∘" role="presentation">°\circ 很容易证明，这个映射是满射，因此表示范围 R(Bj)=N" role="presentation">R(Bj)=N\mathscr{R}(B_j)=\mathbb{N} 。（这顺便是单射，所以给出了 |⋃n=1∞Σn|=ℵ0" role="presentation">|?n=1∞Σn|=?0\big|\bigcup_{n=1}^\infty\Sigma^n\big|=\aleph_0 的一个证明） 注意到 B2" role="presentation">B2B_2 就是所谓的二进制，而 B10" role="presentation">B10B_{10} 是我们常用的十进制。现在，这个问题应当被重新表述为：为什么 10∈R(B10)" role="presentation">10∈R(B10)10\in\mathscr{R}(B_{10}) ，而 2∉Σ2" role="presentation">2?Σ22\notin\Sigma_2 （为什么 10" role="presentation">1010 属于十进制的表示范围，而 2" role="presentation">22 不属于二进制的字母表）呢？一旦解读这问题如上，再无任何疑虑。 尽管与本问题无关，但是进制带来的另一常见困惑也来源于概念的混淆。定义带小数的十进制： ∘" role="presentation">°\circ 字母表仍取为 Σ10" role="presentation">Σ10\Sigma_{10} ，但数对应的集合修改为 N∗(B10):=N(B10)×{.}×Σ∞" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">N?(B10):=N(B10)×{.}×Σ∞\mathscr{N}^*(B_{10}):=\mathscr{N}(B_{10})\times\{.\}\times\Sigma^\infty\\也即，带小数的十进制中一个数由三部分组成，小数点左侧是一个有限长的十进制串，右侧是一个无限长的序列。 ∘" role="presentation">°\circ 表示规则是映射 N∗(B10)→R,  ((dn,⋯,d0),⋅,{tj}j≥1)↦∑j=0ndj⋅10j+∑j=1∞tj10j" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">N?(B10)→R, ((dn,?,d0),?,{tj}j≥1)?∑j=0ndj?10j+∑j=1∞tj10j\mathscr{N}^*(B_{10})\to\mathbb{R},~~\big((d_n,\cdots,d_0),\cdot,\{t_j\}_{j\ge1}\big)\mapsto\sum_{j=0}^nd_j\cdot10^j+\sum_{j=1}^\infty\frac{t_j}{10^j}\\ ∘" role="presentation">°\circ 这个映射是满射，但并不是单射。这就是说，相同的实数可能有不同的十进制表示方法。 例子（万恶之源）：定义 d0:=1,tj:=0  (j≥1)" role="presentation">d0:=1,tj:=0 (j≥1)d_0:=1,t_j:=0~~(j\ge1) ，此时有 (1,⋅,{tj}j≥1)↦1∈R" role="presentation">(1,?,{tj}j≥1)?1∈R\big(1,\cdot,\{t_j\}_{j\ge1}\big)\mapsto1\in\mathbb{R} 。利用 ∑j=1∞110j=109" role="presentation">∑j=1∞110j=109\displaystyle\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{10^j}=\frac{10}{9} ，可以发现若定义 d0′:=0,tj′:=9  (j≥1)" role="presentation">d0′:=0,tj′:=9 (j≥1)d_0':=0,t'_j:=9~~(j\ge1) ，仍然有 (0,⋅,{tj′}j≥1)↦1∈R" role="presentation">(0,?,{tj′}j≥1)?1∈R(0,\cdot,\{t_j'\}_{j\ge1})\mapsto1\in\mathbb{R} 。这个结论用通俗的记号写就是 0.9∙=1" role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative;">0.9?=10.\overset{\bullet}{9}=1\\ |
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题主说的没错，10进制是很特殊的，因为所有进制都是10进制 |
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大春，你和其他人不一样，千万别把时间浪费在学习上 |
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在 any 进制体系下都可以写出“10”，而在N进制体系下都写不出N。 所以在十进制体系下可以写出“10”，而在二进制体系下写不出“2”。 |
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十进制你也没办法用一位数写出 10，你必须进位之后用两位数写出 10。同理，二进制不能用一位数写出 2，只能进位后把 2 写作 10。 |
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一、结论 不仅二进制所含的数字没有 2，十进制所含的数字也没有 10 1、十进制没有 10 2、二进制没有 2 二、原理 十进制指的是以 10 为底的进制（数字元素为 0 - 9）表示。二进制是以 2 为底的进制（数字元素为 0 和 1）表示。 1、十进制计数拆解 比如，10 这个数字，其实是 1 乘以 10 的 1 次方，再加上 0 乘以 10 的 0 次方。 |
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10 = 1 * 10^1 + 0 * 10^0 再比如，32 这个数字，其实是 3 乘以 10 的一次方，再加上 2 乘以 10 的 0 次方。 |
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32 = 3 * 10^1 + 2 * 10^02、二进制计数拆解 比如，二进制的 10 ，就相当于十进制的 2。 |
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10 = 1 * 2^1 + 0 * 2^0 再比如，二进制 1010 ，就相当于十进制的 10。 |
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1010 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^03、举一反三 比如，再举一例，二进制 100000 ，就相当于十进制的 32。 |
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100000 = 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 |
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这让我想到了之前的一个笑话：这个世界上只有10种人，一种是懂二进制的人，一种是不懂二进制的人，还有一种是以为这是个二进制笑话的人。 不妨来想想，笑话里的“10种人”，到底是指几种呢？ 答案可以是任意种，主要看语境是在几进制里。 十进制里10就是10，二进制里10就是2。 N进制下， 10=1∗N1+0∗N0=N" role="presentation">10=1?N1+0?N0=N10=1*N^{1}+0*N^{0}=N 写到这里，我再分享一道和进制有关的算法题。 非常有趣，相信看完后会对这个提问的理解更深一步。 原算法是在 matrix67[1] 那里看到的，非常非常有意思，给人印象深刻。 题目是——猜出多项式的各项系数： 有一个黑匣子，黑匣子里有一个关于 x" role="presentation">xx 的多项式 p(x)" role="presentation">p(x)p(x) 。我们不知道它有多少项，但已知所有的系数都是正整数。每一次，你可以给黑匣子输入一个整数，黑匣子将返回把这个整数代入多项式后的值。那么，最少需要多少次， 我们可以得到这个多项式每项的系数呢？ 答案是：两次 首先，输入 1" role="presentation">11 ，于是便得到整个多项式的所有系数之和，把这个系数和记作 S" role="presentation">SS 。 下一步，输入 S+1" role="presentation">S+1S + 1 ，于是黑匣子返回 an∗(S+1)n+an−1∗(S+1)n−1+…+a1∗(S+1)+a0" role="presentation">an?(S+1)n+an?1?(S+1)n?1+…+a1?(S+1)+a0a_{n} * (S + 1)^{n} + a_{n-1} * (S + 1)^{n-1} + … + a_{1} * (S + 1) + a_{0} 把这个值转换成 S+1" role="presentation">S+1 S + 1 进制，依次读出每一位上的数，它们就是多项式的各项系数啦~ |
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参考^http://www.matrix67.com/blog/archives/4064 |
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我们只需要理解两个概念，就不难理解这个问题。 第一，整数是一种抽象存在。 为了表示这种抽象，我们把数字用汉字来表示，而不用阿拉伯数字。 这是『三个苹果』，客观上就是有『三』个东西在这里。 |
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围棋棋盘上有『三百二十四』个格子，这个『三百二十四』是一个客观存在的数字，只是这里既然用了『百』和『十』，代表就是十进制表示。 |
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当我们说一个客观数字的时候，总是倾向于默认用十进制表示。 第二，任何进制都只是数字的一种表示方式。 客观上同样一个数字，在不同进制下的表示方式可能（注意是可能）不一样，比如『三个苹果』，在十进制下表示是3，在二进制下表示是11，在八进制下还是3。 好，现在回到这个问题——为什么在10进制体系下可以写下“10”，而在二进制体系下写不出“2”? 因为『可以写下10』，这个『10』被我们大脑默认代表数字『十』，暗含了『客观数字十』的含义，换句话说，我们大脑里不自觉把数字的抽象和数字的表示方式混合在一起了。 我们习惯上各种进制都用阿拉伯数字0,1,2...,9表示，十进制以上用上A,B,C...这些符号，但是这些单个符号也就是一个符号，我们不用阿拉伯数字表示，而是用另一种符号体系，就可以看得很清楚了，比如，用十二生肖符号，做这样一一对应。 鼠-0，牛-1，虎-2，兔-3，龙-4，蛇-5，马-6，羊-7，猴-8，鸡-9，狗-十，猪-十一 那么二进制『牛鼠』、十进制的『牛鼠』，改变了符号表示方式，也就看不出和10和2这种客观数字的混淆了。 |
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谁说二进制写不出2 10不就是么？ 啊，你说2不属于二进制？ 那10也不属于十进制。 不信我问你十进制哪一位数字是10？ 这不是两位数字吗 |
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因为你允许了十进制下的10用两个数字来编码，却限制了二进制下只用一个数字来编码，对比不公平，自然会发现用更多数字来编码时能表示更多的数字。 |
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不不不。世界上通行了三种数字体系中，有两款使用十进制，分别是阿拉伯数字和阿语数字。在阿语数字里，既没有2，也没有10。 |
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因为你没有真的用二进制的观点去使用2进制。你问为什么2进制体系下写不出2这句话，就说明你在形容和思考2进制的时候，使用了一个比2大的（很可能是10）进制体系。 你如果真的在用2进制体系去思考问题的话，2进制其实应该叫10进制。 扩展开来，所有的进制系统其实都是“10”进制。 |
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“10”只是用位值记数法表示出来的数，并不是独立的一个符号。 十六进制中就有专门的十，也就是“A”，也就是说在十六进制体系下才真正的写出了表示十的符号。 而在十进制中，因为逢十进一，所以也就不需要专门的符号来表示十，而且“10”是两位数，不是一位数。 |
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因为 2 是 10 进制体系下的。 记住 N 进制是不会出现 N 的，因为逢 N 就在前面加 1 然后 1 后面是 0。 |
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在十进制体系下写不出一位数的十，但在十六进制体系下可以，就是A。 |
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十进制是0～9构成，所以是十进制 且逢十进一，且就是and的关系 逢十进一的意思是即将要到十了，就需要进一，比如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、进1，这里的1就要到十位了，那么个位就是从0开始了，所以就是10，10其实又是一个开端了，个位是0。然后是10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、又要进1了，这时候十位的1就变成了2，各位的9继续就是0了，就是20了。 二进制是0～1构成，刚好两个数字 且逢2就要进一，所以就是二进制啊 所以二进制是0作为起始位，0、1、10、11、100、101、110、111、1000、1001，这里的二进制就分别代表了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。 |
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10进制的10，实际是1，0 也就是计算法进面的进位计数，1代表一个十。 而二进制10，那不就是2吗，道理同理。 总结起来都是每位的权重乘以位上的数加起来就是计数值。 你把提问换成另外一个计数，比如罗马计数为什么有 10 ， 其值是 X 。这个就不需要写成X0 |
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