[数码] 为什么我们使用10进制，而不使用11进制?

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[数码]为什么我们使用10进制，而不使用11进制?

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为什么我们使用10进制，而不使用11进制?
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计算
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进制
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为什么我们使用10进制，而不使用11进制?

11 进制有何不可？
11 作为素数，意味这种进制有许多特别的性质（比十进制好得多）
我们将切身体会一下，使用 11 进制感受初等数论的各种方法和定理
注：11 进制中，1 到 9 分别表示十进制中的 1 到 9，X=9+1，即 X 表示十进制中的 10.
请忘记十进制！！！下面的所有数字都是 11 进制下的！！！
我们进入 11 进制的世界吧
（1）Arithmetic（算术）
加法和减法是不必说的，直接来看乘法
小学二年级大家就被要求背诵乘法口诀表

图中就是完整的“XX 乘法表”，当然，因为有乘法交换律，小学生们只需要背诵一半
这里的乘法表可方便记忆了，因为每行、每列的个位数字都是 1 到 X 的一个排列
只认识 11 进制的小学生们认为这是理所当然的事情
事实上，这是因为「10」是素数，导致 1 到 X 都与「10」互素，所以构成缩系
大家最喜欢的是乘法表里面最大的「XX91」，具体是什么原因也不知道。。。
（2）Factors and Multiples （因数与倍数）
11 进制中，看个位是确定不了 2 的倍数的，所以很长一段时间没有出现奇数和偶数的概念
后来人们发现，10=X+1，X=2*5. 所以，一个数模 2，5，X 同余于它的数字和
特别的，判断是否为 2，5，X 的倍数，只需要看数字和就可以了
比如这个数：1145141919810
数字和是 41，再做一遍数字和变成 5. 所以是 5 的倍数，不是 2 的倍数，不是 10 的倍数
小学奥数课上，通过简单的同余运算，大家还学到了：
判定模 3，4，6，8，11，14，19 都可以使用“两位一段”的方法
判定模 7，13，18 可以使用“三位一段”的方法
比如 1141541919810，两位一段变成 1｜14｜51｜41｜91｜98｜10，只需计算 1+14+51+41+91+98+10
（3）Exponential Congruence (指数同余式）
人们轻而易举地发现了这个事实：
如果 a 的个位不是 0 ，那么 a^X 的个位是 1
更一般地，如果 a 的个位不是 0 ，那么 a^{X00...0 (n个0)} 的末 n+1 位数字是 00....01(n个0)
后来数学家把它推广到任意素数进制的情况，把它命名为“费牛小定理”
人们对数的幂次的个位数字很感兴趣：
2^0=1,2^1 = 2,2^2=4,2^3=8,2^4=15,2^5=2X,2^6=59,2^7=107,2^8=213,2^9=426,2^{X}=851
2 的幂次的个位每 X 个为一个最小周期，一个周期内的数为 1,2,4,8,5,X,9,7,3,6 ,恰好是 1 到 X 的一个排列！
更有数学家枚举到了 2^{X0} ，发现 2^0 到 2^{X0-1}的末两位数字也恰好是是 1 到 XX 除去个位为 0 的所有数的一个排列！
人们猜测，这个性质普遍成立，“原根”概念的提出，给出一个解释：
因为 2 是模奇素数 10 的原根，且 2^X \not \equiv 1 \quad(\mod 100 ) ，所以 2 也是模 100,1000,10000... 的原根.
（4） Fractions vs Decimals（非整数的表示）
由于在11进制下，任取两个整数相除，大概率是除不尽的，所以人们总是习惯于分数的表示
但是循环小数性质也很好，有类似“走马灯数”：
\frac{1}{3} = 0.\bar{3}\bar{7} ， \frac{2}{3} = 0.\bar{7}\bar{3}
也有乘2的幂次封闭的“走马灯数”：
\frac{1}{7} = 0.\bar{1}6 \bar{3} ， \frac{2}{7} = 0.\bar{3} 1 \bar{6} ， \frac{4}{7} = 0.\bar{6} 3 \bar{1}
这是两个耳熟能详的无理数：
π ≈ 3.16150702865X48523517
e ≈ 2.79X04008X9X1X054412X
（5）Factorials and Binomial Coefficients（阶乘和组合数）
这是一道小学奥数题： 114514! 的末尾有多少个 0 ？
如果你接熟悉Legendre公式，这会变得很简单
v_{10} (114514!)= \lfloor \frac{114514}{10} \rfloor + \lfloor \frac{114514}{100} \rfloor + \lfloor \frac{114514}{1000} \rfloor +... = \frac{114514-S(114514)}{X} = 12711
(其中 S(n) 表示 n 的数字和）
在某个臭名昭著的homo竞赛中，有这道题： \binom{1919810}{1145140} 的个位数字是什么
使用Lucas定理就可以知道，它的个位数字就是 \binom{1}{1} \binom{9}{1} \binom{1}{4} \binom{9}{5} \binom{8}{1} \binom{1}{4} \binom{0}{0} 的个位数字
而 \binom{1}{4}= 0 ，所以它的个位就是0
这时就有人问了，它的末尾有多少个0？
事实上，运用Legendre公式可以得到Kummer定理：
\binom{n}{k} 末尾0的个数=k+(n-k)做加法时进位的次数
列一个竖式，发现进了2次位，所以 \binom{1919810}{1145140} 的末尾有2个0
总之，这个使用11进制的文明在数学竞赛上会高度发达。。。
ps. 无聊搞了个电话簿既视感

不方便。10其实不如12和16进制。10只能被2和5整除，12有2，3，4，6。16好处是一直能二分。11是质数，咋地都不好分。使用11进制极不方便。

11进制相对10进制的好处大家也知道，就是11比10离e更近，所以在需要表示任意信息时，11进制比10进制所需的状态会更少。
但这是纯理论上的情况，工程应用上并非如此。苏联科学家也造出过11进制的计算机，但是11个状态在电子技术上的实现相对复杂，即使是设计良好的11进制计算机，也反而比10进制消耗更多的晶体管，所以这一设计并未成为主流。
这可能就是为什么11进制在我们的生活中并没有普及吧。

讨论比较多的主要是10进制(A进制)、12进制(10进制)。2、3进制主要是基于计算机系统的工程需要，8、9、16进制则纯粹是书写便利性需要。
人类有10根手指头，除拇指外每只手有12节。