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[哲学]欧几里得[第7页] |
| 作者:人性的游戏1 |
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那中国人发现勾股定理时算不算科学呢，还有中国人几千年以前就制定的历法也是很精确的。 |
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欧几里得91、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？ “你可以在网上看到，Theodolites（通常译为西奥多罗斯）对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。 “一位俄国的数学历史家‘猜’到了原因…”网友接着说，“他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法（见《欧几里得91》）证明的…比如，要证明根号x不是有理数，于是设√x=p/q…得p2=xq2（p的平方=x·q的平方）…” “我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数…”网友继续说。 … x是奇数且p/q已经不能再约分（x、p、q是正整数），则p和q都是奇数。 证明如下： 设：q是偶数 ∵ p2=xq2（p的平方=x·q的平方），偶数的平方是偶数 ∴ q2（q的平方）是偶数 ∴ xq2（x·q的平方）是偶数（正整数乘以偶数，结果还是偶数） ∵ p2=xq2（p的平方=x·q的平方） ∴ p2（p的平方）是偶数 ∴ p是偶数（正整数中，只有偶数的平方是偶数，没有其它可能） ∴ p、q都是偶数。 p、q都是偶数，这与“p/q已经不能再约分”矛盾。 “q是偶数”违反了矛盾律（见《欧几里得82》），根据人们对“错误”的定义（见《欧几里得82》），“q是偶数”是错的。 根据排中律（见《欧几里得80、81》），“q是偶数”是错的，那么它的反命题——q是奇数就是对的。 ∴ q是奇数 ∴ q2（q的平方）是奇数（奇数的平方是奇数） ∵ x是奇数 ∴ xq2（x·q的平方）是奇数（奇数乘以奇数结果还是奇数） ∵ p2=xq2（p的平方=x·q的平方），xq2（x·q的平方）是奇数 ∴ p是奇数（正整数中，只有奇数的平方是奇数，没有其它可能） … “一个奇数2n+1的平方应该等于4（n2+n）+1——4×（n的平方+n）+1，即8·n（n+1）/2 + 1…”网友最后说。 …奇数可以表示成2n+1（n为整数），见《欧几里得11》；（2n+1）的平方=（2n+1）×（2n+1）=4n的平方+2n+2n+1=4n的平方+4n+1=4（n的平方+n）+1=4n（n+1）+1= 8·n（n+1）/2 + 1 “其中n（n+1）/2肯定是一个整数…”网友说。 … 奇数2n+1的平方=8·n（n+1）/2 + 1，n（n+1）/2是一个整数。 证明： ∵ n，n+1为连续自然数 ∴ n，n+1为一奇一偶 ∴ n（n+1）是偶数（奇数乘以偶数得偶数） ∴ n（n+1）能被2整除 ∴ n（n+1）/2是整数 … “如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p2=xq2（p的平方=x·q的平方），有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1…”网友接着说。 …p=2k+1，q=2m+1，代入p2=xq2（p的平方=x·q的平方）得：（2k+1）2=x（2m+1）2（【2k+1】的平方=x·【2k+1】的平方） （2k+1）2=x（2m+1）2两边化简： 4k2+4k+1=x（4m2+4m+1） 8·k（k+1）/2 + 1=x[8·m（m+1）/2 + 1] 8·k（k+1）/2 + 1=x·8·m（m+1）/2 + x 两边同时减1： 8·k（k+1）/2 =x·8·m（m+1）/2 + x-1 两边同时减x·8·m（m+1）/2 ： 8·k（k+1）/2-x·8·m（m+1）/2=x-1 提取公因式： 8[k（k+1）/2–x·m（m+1）/2]=x-1 “… 请看下集《欧几里得92、数学家西奥多罗斯能做到的，我们也能做到》” 10 |
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欧几里得92、数学家西奥多罗斯能做到的，我们也能做到 “如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p2=xq2（p的平方=x·q的平方），有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1…（化简过程见《欧几里得91》）…”网友接着说。 “于是x-1必须是8的倍数…”网友继续说。 …证明： 由《欧几里得91》知，k（k+1）/2，m（m+1）/2均是整数。 ∴ 8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1可表示成8（整数-x·整数）=x-1 ∵ x是正整数（见上集） ∴ 8（整数-x·整数）=x-1可表示成8（整数-整数·整数）=整数-1 8（整数-整数·整数）=整数-1 两边同时除以8： 整数-整数·整数=（整数-1）/8 ∵ “整数-整数·整数”是整数 ∴（整数-1）/8是整数 ∴ （整数-1）必须是8的倍数 ∴ x-1必须是8的倍数。 … “如果当时Theodorus（西奥多罗斯）是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论：如果x-1不能被8整除，那么√x就不可能被表示成p/q，即√x不是有理数…”网友最后说。 … 证明√x（x是自然数）不是有理数。 设√x是有理数 则√x=p/q（p、q是正整数） …有理数的性质：有理数可以表示成两个整数之比。 如果x是奇数且p/q不能再约分，那么p和q都是奇数（证明见《欧几里得91》）。 奇数可以表示成2n+1（n为整数）。 …奇数的定义。 ∴ p可以表示成2k+1，q可以表示成2m+1。（k、m为正整数。） ∵ p=2k+1，q=2m+1时，p2=xq2（p的平方=x·q的平方）成立的条件是：x-1是8的倍数。 ∴ x-1不是8的倍数时，p2=xq2（p的平方=x·q的平方）不成立。 p2=xq2（p的平方=x·q的平方）不成立，即：√x=p/q不成立…√x无法表示成p/q…√x是无理数。 ∴ x-1不是8的倍数时，√x是无理数 … “x-1不是8的倍数时，√x是无理数…好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数…”网友说。 “在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数…”网友接着说。 …x=9时发生了一次例外：x=9时，x-1=9-1=8，是8的倍数。 根据“x-1不是8的倍数时，√x是无理数”，无法判断√9的平方根是无理数，还是不是无理数。 “我们知道，√9的平方根是3，不是无理数…所以‘√9的平方根是无理数，还是不是无理数’不需要再判断…”现代学者说。 “因此，西奥多罗斯得以越过9，继续证下去…”现代学者接着说。 … “而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住…”网友最后说。 …x=17时，x-1=17-1=16，是8的倍数。 根据‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’，无法判断√17的平方根是无理数，还是不是无理数。 “从17开始，‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’这种证明方法开始失效…西奥多罗斯无法继续证下去…所以他就此打住…”现代学者说。 ““有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出‘所有数都可以表示为整数之比’的呢？…”网友继续说，“其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解…当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做‘公度单位’…” 请看下集《欧几里得93、现代司空见惯的“奇数x偶数y”，放在古代却是高科技》” 10 |
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欧几里得93、现代司空见惯的“奇数x偶数y”，放在古代却是高科技 “0的平方根是0，1是平方根是1，2的平方根（√2）已被希帕索斯证明是无理数（见《欧几里得79》），4、9、16…是平方数，它们的平方根是已知的数…”另一位现代学者说，“所以…西奥多罗斯打算寻找剩下的数的平方根…” “剩下的数是：3、6、7、8…”现代学者接着说。 “如果剩下的数的平方根不能用整数之比表示出来…那它们就和√2一样，是无理数…”现代学者继续说。 “西奥多罗斯曾尝试证明它们是无理数，并成功证明‘3到17的非平方数的根是无理数’（见《欧几里得90~92》）…”现代学者最后说。 … “实际上，我们上面说的这么多（见前文），在古希腊的数学体系中是根本不可能出现的…”网友说，“毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来…它们掌握的只是纯粹的几何…因此，Hippasus（通常译为西奥多罗斯）当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西…” …代：代替… …代数：数学的分支学科。通过用字母代表数进行运算。能简明地表示数量关系… “事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论…”网友接着说。 …平面：在空间中，到两点距离相同的点的轨迹… …平面2：由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别。既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分… （…抽象：见《欧几里得17》…） …几何：1.多少：价值～。2.数学的分支学科。研究物体的形状、大小和位置及它们的相互关系… …平面几何：几何学的一个分支，研究平面图形的性质，如形状、大小、位置等… …平面几何2：指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义… “有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出‘所有数都可以表示为整数之比’的呢？…”网友继续说，“其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解…当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做‘公度单位’…” …公：共同的… …度：计量长短：～量衡… …公度：几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段… ““欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述的，所以被命名为‘欧几里德算法’…”现代学者说。 请看下集《欧几里得94、欧几里德算法（辗转相除算法）》” 10 |
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欧几里得94、欧几里得算法（辗转相除算法） …公：共同的… …度：计量长短：～量衡… …公度：几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段… …自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4…表示的数… “自然数就是对自然界存在的物体计数的数…”现代学者说，“因此人们称它们为自然数…” …单位：见《欧几里得89》… …公度单位：用于计量长短的单位… “两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）…寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长…”网友最后说。 “熟悉数论的同学一下就明白了：这就是欧几里德的辗（zhǎn）转相除算法求最大公约数…”网友说。 …数论：见《欧几里得10》… …辗：（车）轮转动… …辗转：1.也作展转。2.（躺在床上）翻来覆去：～不眠。3.经过许多人的手或经过很多地方；间接地：～流传… …辗转相除一般指欧几里得算法… 欧几里得算法：又称辗转相除法。用于计算两个正整数a，b的最大公约数。 “欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述的，所以被命名为‘欧几里得算法’…”现代学者说。 …The（英语）：那个… …element（英语）：要素；基本部分；典型部分… …elements：element的复数… …复数：某些语言中由词的形态变化等表示的两个或两个以上的数量。例如英语里book（书，单数）指一本书，books（书，复数）指两本或两本以上的书… …《The Elements》：《几何原本》… “假如需求1997和615两个正整数的最大公约数…用欧几里得算法，是这样进行的：…”现代学者接着说。 求1997和615的最大公约数…用欧几里得算法，是这样进行的： 1997/615=3（余152） 615/152=4（余7） 152/7=21（余5） 7/5=1（余2） 5/2=2（余1） 2/1=2（余0） 至此，1997与615的最大公约数为1。 “以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数。所以就得出了1997和615的最大公约数 1…”现代学者最后说。 … 网友曾向数学爱好者介绍辗转相除算法… “上个视频，我们学习了如何用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数。在使用这个方法时，需要先将每个数分解质因数。例如90=2×32（90=2×3的平方），105=3×5×7…”网友说。 “生活不止有眼前的苟且，还有诗和远方。——Angela韩雪倩 请看下集《欧几里得95、欧几里得算法（辗转相除算法）2》” 10 |
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欧几里得95、欧几里得算法（辗转相除算法）2 “上个视频，我们学习了如何用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数。在使用这个方法时，需要先将每个数分解质因数。例如90=2×32（90=2×3的平方），105=3×5×7…”网友说。 “但并不是每个数都那么好分解…比如这两个数就很难分解：3139=？2117=？…”网友接着说。 “遇到这种情况，分解质因数法也无能为力…这怎么办？”网友继续说。 “不用担心，这种情况就是辗转相除法大显身手的时刻…”网友最后说。 “辗转相除法主要用来计算两个数的最大公因数，在使用时，先用较大的除以较小的，算出余数。然后用除数继续除以余数，求出新的余数。接着再用除数除以余数…不停循环…直到余数为0，”网友说。 “此时的除数就是最大公因数…”网友接着说。 … 求（大数，小数） …（a，b）：在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个… 大数÷小数=商…余A 小数÷A=商…余B A÷B=商…余C … 被除数÷除数=商…余0 此时除数就是最大公因数。 … “比方说这两个数：3139，2117…”网友继续说，“首先用3139除以2117，商1，余1022。然后用除数2117除以1022，商2余73。接着继续用1022除以73，商14余0。余数为0，就此打住…” “此时的除数73，就是3139和2117的最大公因数…”网友最后说。 … 求（3139，2117） 3139÷2117=1……余1022 2117÷1022=2……余73 1022÷73=14……余0 73就是3139和2117的最大公因数。 … “无论两个数多大，用辗转相除法都可以方便的求出最大公因数…是不是很厉害！”网友说。 “这个方法，大家以后在学计算机编程的时候还会见到…到时，你可以让电脑快速计算最大公因数…是不是很帅！”网友接着说。 … “辗转相除法最大的用途就是用来求两个数的最大公约数。用（a，b）来表示a和b的最大公约数。有定理：已知a，b，c为正整数，若a除以b余c（a÷b=商……C），则（a，b）=（b，c）…”网友angela韩雪倩说。 “证明过程请参考其它资料…”Angela韩雪倩接着说。 …angela韩雪倩：百度问答用户…Angela韩雪倩的个性签名是“生活不止有眼前的苟且，还有诗和远方”… …小学数学用“a÷b=商……C（a除以b余c）”表示有余数的除法。 …（a，b）=（b，c）：（被除数，除数）=（除数，余数）；被除数、除数的最大公因数=除数、余数的最大公因数… …被除数、除数的最大公因数=除数、余数的最大公因数：例如，15、8的最大公因数为1，15除以8余7（15÷8=1……7），8、7的最大公因数是1，15、8的最大公因数=8、7的最大公因数=1… ““余数用r表示，r是remainder的首字母…”现代学者说。 …remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书… 请看下集《欧几里得96、辗转相除法的计算原理；取模运算和取余运算》” 10 |
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欧几里得96、辗转相除法的计算原理；取模运算和取余运算 “辗转相除法…其计算原理依赖于下面的定理：”现代学者说。 …辗转相除法：见《欧几里得94》… …原理：可以作为其他规律的基础的规律… 下面的定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。 …其它表述为：被除数、除数、余数是整数，被除数除以除数，得到余数，则（被除数，除数）=（除数，余数）；a、b、c是整数，a除以b余c，则（a，b）=（b，c）；a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）… …（a，b）：整数a与整数b的最大公约数…见《欧几里得95》… … “a、b、c是整数，a÷b=商……c，则（a，b）=（b，c）”有多种证法： 证法一 a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b …mod：“Module Operation”的首字母缩写（取前三个字母）… …module（英语）：n.单元（尤指英国大学课程的一部分）；模块；功能块；程序块；组件；配件… （…名词Noun，简称n.… …Noun：英语，意思是“名词”…） …Operation（英语）：n.操作；经营；[外科]手术；[数][计]运算… （…[数]：数学行业… …[计]：计算机行业…） …Module Operation：取模运算… 取模运算：取模运算（“Module Operation”）和取余运算（“Complementation”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要用于计算机术语中。取余则更多是数学概念… …Complementation（英语）：n.补充；（动词的）补足语，补语… “模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用…从奇偶数的判别到质数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影…”现代百姓说，“虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多…” …质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数… …幂：见《欧几里得87》… …模幂运算、孙子问题、恺撒密码：内容量太大了，这里就不介绍了… 对于正整数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是： 1.求整数商：c = a/b …a=c·b+r …r：余数… （“余数用r表示，r是remainder的首字母…”现代学者说。 …remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书… 2.计算模或者余数：r = a-c·b … “取模是怎么运算的？…希望可以讲得通俗一点…”网友提问。 ““对数字来说，整数是完整模块…‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数…”现代学者说。 请看下集《欧几里得97、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好》” 10 |
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欧几里得97、大神们可不可以讲一下取模是什么意思？最好比如一下，本人数学没学好 “大神们可不可以讲一下取模是什么意思？我在学C语言开发…看视频…里面有什么取模…因为不懂所以才上网查一下，其实就是除法是吗？…只是它是取余…可是，我用计算器20取模3（20 mod 3），就是用20除以3就是6.666……7…那我在linux上写20取模3，结果就是2…是为什么呢？能不能讲解一下？…最好比如一下…本人数学没学好。。”网友补充道。 …取：选取… …模：模块… …模块：电子计算机软件中，一个具有独立执行某种功能的程序单元叫做模块。一个大型软件可以分解为多个模块… …取模：取出模块… “对数字来说，整数是完整模块…‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数…”现代学者说。 “…字面上理解，取出的必须是整数…不能是小数…”现代学者接着说。 …mod：“Module Operation”的缩写…也是“Module Operation”的前三个字母… …module（英语）：模块…见《欧几里得96》… …operation（英语）：运算…见《欧几里得96》… …Module Operation：取模… …20 mod3：20除以3后，取模… “20除以3，商6余2（20÷3=6……2）…取模的结果是2…”现代学者说。 “‘取模’是‘取余’的意思…”现代学者接着说。 …linux：一套免费使用和自由传播的类UNIX操作系统… …类UNIX：一种操作系统… …操作系统（计算机管理控制程序）：管理计算机硬件与软件资源的计算机程序，同时也是计算机系统的基石。操作系统需要处理如管理与配置内存、决定系统资源供需的优先次序、控制输入设备与输出设备、操作网络与管理文件系统等基本事务。操作系统也提供一个让用户与系统交互的操作界面…操作系统举例：iOS（苹果系统）、Android（安卓系统）、微软Windows… “取模…简单来说，就是小学刚学除法时候，5除以2得不到整数，又没学小数，怎么办？只能5除以2等于2，余下一个1。这个1就是余数。取余就是取出这个数…”网友说。 “简单的理解就是取余数…20除以3，商为6，余数为2，所以结果是2…你在计算器上算的是除法，所以是6.66666…”网友“一颗程序猿o_0”说。 “取模就是求余数的运算，例如10除以4的余数是2，于是取模的结果就是2…”网友“bieskirt”说。 … “… 请看下集《欧几里得98、小学生能学会的大学数学：辗转相除算法计算原理的两种证明》” 10 |
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欧几里得98、小学生能学会的大学数学：辗转相除算法计算原理的两种证明 a÷b=k……r（a、b、k、r是整数），则（a，b）=（b，r）。 …两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。 …a÷b=k……r：被除数（a）÷除数（b）=商（k）……余数（r）… 证法一 a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r都是正整数，且r＜b），则r = a mod b …∵ a÷b=k……c ∴a/b=k……c ∴ a=kb+c … …mod：见《欧几里得97》… ∵ a = kb + r ∴ r = a - kb 假设d是a，b的一个公因数（即a和b都可以被d整除）。 r = a - kb两边同时除以d，得：r/d=a/d-kb/d ∵ a和b都可以被d整除 ∴ a/d是整数；kb/d是整数 ∵ 整数-整数=整数 ∴ “a/d-kb/d”是整数 ∵ r/d=a/d-kb/d ∴ r/d是整数。即r可以被d整除。 ∴ d是b，r的公因数 假设d是b，r的公因数, 则b和r都可以被d整除。 a = kb + r 两边同时除以d，得：a/d=kb/d-r/d ∵ b和r都可以被d整除 ∴ b/d是整数；r/d是整数 ∵ k是整数 ∴ kb/d是整数；“kb/d-r/d”是“整数-整数”——结果还是整数 ∵ “kb/d-r/d”是整数；a/d=kb/d-r/d ∴ a/d是整数。即d能整除a。 ∴ d也是a，b的公因数。 由证明过程知，（a，b）和（b，a mod b）的公因数是一样的。 ∴ 其最大公因数也必然相等。 原命题得证。 证法二 令c=（a，b），设a=mc，b=nc …（a，b）：在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个… …c=（a，b）：c是整数a与整数b的最大公因数… ∵ r=a-kb；a=mc，b=nc ∴ r=a-kb=mc-knc=（m-kn）c ∴ c也是r的因数 可以判定m-kn与n为互质数。 （…互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数…） …假设m-kn与n不是互质数 设m-kn=xd，n=yd，（d是整数；d＞1） ∵ m-kn=xd ∴ m=kn+xd ∵ n=yd ∴ m=kn+xd=kyd+xd=（ky+x）d ∵ m=（ky+x）d；a=mc，b=nc ∴ a=mc=（ky+x）dc，b=nc=ycd 即a=（ky+x）dc，b=ycd 观察“a=（ky+x）dc，b=ycd”知：a与b最大公因数要么是cd，要么比cd大。 这与前面“c是整数a与整数b的最大公因数”矛盾。 “m-kn与n不是互质数”违反了矛盾律。 …矛盾律：对两个矛盾的判断不能同时承认它们都是真的…它们中至少有一个是假的…见《欧几里得82》… ∴ “m-kn与n不是互质数”是假命题。 根据排中律，“m-kn与n不是互质数”是假命题，那么“m-kn与n不是互质数”的反命题——m-kn与n是互质数，就是真命题。 …排中律：对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼…见《欧几里得80》… “m-kn与n是互质数”得证。 … ∵ r=（m-kn）c，b=nc，m-kn与n是互质数 ∴ （b，r）=c ∵ c=（a，b） ∴ （a，b）=（b，r）=c 原命题得证。 “第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus（通常译为希帕索斯）画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去… 请看下集《欧几里得99、辗转相除的正方形图示》” 10 |
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欧几里得99、辗转相除的正方形图示 “两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）…寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长…”网友最后说。 “熟悉数论的同学一下就明白了：这就是欧几里得的辗（zhǎn）转相除算法求最大公约数…”网友说。 …辗转相除算法求最大公约数：见《欧几里得94~99》… “第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus（通常译为希帕索斯）画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去…”网友接着说。 “现在看他怎么解释‘在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止’…”网友继续说。 “…把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG…显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除…”网友最后说。 “BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了…”网友说。 “现在轮到DE和DF之间辗转相除…而它们是一个新的正方形的边和对角线…其比例正好与最初的BC和BD相当…于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去…”网友接着说。 …递：传送；传递… …归：返回：～国华侨。无家可～… …递归：一种计算过程。如果其中每一步都要用到前一步或前几步的结果，称为递归… “最后的结论用我们的话说就是：不存在一个数x，使得BC和BD的长度都是x的整倍数…于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q=x，于是就有了x…这与几何证明得到的结论矛盾）…”现代学者最后说。 “有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？…”现代学者说。 “它们都是这样的一个思路：假设已经找到满足条件的最小量…那么就可以用一种方法找出满足条件的、更小的量…无限循环下去…数目越来越小，永无止境…”现代学者接着说。 “严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：‘不失一般性，设n为最小的满足…’”现代学者继续说。 …不失：1.不偏离；不失误。2.不遗漏；不丧失。3.还算得上；不愧… …一般性：事物的一种性质。是指具有普遍性，如公式、公理、定理等等，对所有的对象都适用。例如，公式（a+b）2 =a2+b2+2ab具有一般性。因为公式中a、b的值取任何实数… …（a+b）2 =a2+b2+2ab：（a+b）的平方=a的平方+b的平方+2ab… ““‘不失一般性’和‘举个例子来说’大体意思相同，但是这个例子必须是可以代表普遍情况的，不能是换了个例子…结论都变掉了…”Xiongxionghy最后说。 请看下集《欧几里得100、数学中的“不失一般性”；证明的思路：满足条件的最小量》” 10 |
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