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[数码]为什么A4纸被设计成210mm乘297mm？ |
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A4是最常用的纸了，但是它的大小却不零不整的，长297mm 宽210mm，感觉好奇怪，为什么不设计成一个整数，比如300mm 乘200mm？ |
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已知条件，A0尺寸规定为1m2，并且上级要求你以这个为参考基准，来指定一批等比例尺寸的纸张大小。 这里两个关键条件，1m2，还有等比例 那么我们先不管这个1m2，先计算这个等比例到底怎么才能实现 等比例，需要让我们设计这个纸的比例，不管对折多少次（长边对折），都是自相似的，如下图： |
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y/x = x/(y/2) 并且，需要满足y/x = x/(y/2)； 到了这里就好办了，就是很简单的初中数学， |
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一步步解开，可以得到，我们所需的纸张长短边比例是√2：1 将x带入1，那么就可以知道，y=1.4142 |
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这个时候，我们终于得到了我们所希望的能满足对折后还是等比例的纸张，它比例就是1：√2！ 然后，回到题干，这个1m2怎么搞？这个就比较简单了，我们还是假设这个A0纸的短边尺寸是x， 那么长边带入我们的比例尺，就是x√2， 那么它的面积就应该是：x2√2=1（m2） 这里解出来，x就等于√（√2/2）≈ 0.840896m ≈ 841mm 那么长边就应该是841*√2 ≈ 1189mm 至此，我们成功的得到了符合上级要求的A0尺寸！841*1189mm， 那么它对折一次：A1 = 594*841mm； 对折两次：A2 = 420*594mm； 对折三次：A3 = 297*420mm ------（想要的297，它终于出现了！！） 对折四次：A4 = 210*297mm ------（俩尺寸都有了） 那么这就是A4尺寸为啥是这个的由来 |
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因为马屁股决定了铁路宽度，进而决定了造纸机的大小，进而影响了纸张标准。 在很早很早以前，两匹古罗马战马的屁股宽度决定了古罗马战车的轮距（换算成现代单位）是 1435mm。 然后因为战车都是这个轮距，于是整个欧洲大陆的石板路上都碾压出了固定宽度的车辙。 那么为了适配这些车辙，中世纪的英国马车和煤矿马车轨道就不得不沿用了这个宽度。 时间来到 1799年，法国人 Nicolas-Louis Robert 发明了连续造纸机。 1808年，英国的 Fourdrinier 兄弟将其改进并商业化，这种机器后来被称为长网造纸机。 早期的长网造纸机，其核心是一条循环转动的铜网，宽度通常在 48英寸到60英寸之间，换算成公制就是 1.2 米到1.5米。 理论上长网造纸机滚筒越宽，生产效率越高。 但为什么第一代的造纸厂不像现代造纸厂那样把造纸机造得非常宽呢？ 因为当时所有的机器滚筒都要从伯明翰或者伦敦的重型铸造厂里制造，然后通过马车轨道运到各地的水磨动力的造纸厂。 因此，马车轨距在 1.4 米左右，这限制了滚筒的宽度必然低于 1.5米，进一步决定了纸卷的总宽度。 但是这个时期还没有纸张标准，母卷的尺寸非常的混乱，而且随着时间的推移越来越混乱。 到了 19 世纪中叶，德国境内有几十个邦国，每个邦国都有自己的标准纸张，市场一片混乱。 1911年，面对混乱的英制母版，负责德国标准的工程师 Walter Porstmann 终于是受不了了。 在当时，随着 SI 单位制的普及，标准化的力量深入人心，狗日的英制单位人人喊打。 Porstmann 认为，纸张不应该再去追随什么马车的宽度，什么工人的臂展。 造纸业应该应该反过来，强迫机器去适应科学单位。比如 SI 单位制。 他将最大的纸张 A0 定为 1平方米，因为如果 A0 是 1 平方米，那么 A0 纸的重量就等于这种纸的密度。 这么说有点抽象，简单来讲，如果你买到的某种纸是 80 克每平方米，那么 A0 纸拎起来不多不少就是 80 克重。 有点像自然单位制，把单位约化掉了，这样的话长度、面积、重量换算起来就都非常的方便了。 但是还有第二个问题，纸张的比例应该是什么样的呢？ 第一个能想到的就是 1：1.618，任何工程师都知道这个神奇的比例，哪怕是美术生都懂这个道理。 这样的纸张最漂亮。 但是人们在实际使用中发现掉坑里了，黄金比例的特性是剪掉一个正方形后，剩下的矩形依然是黄金比例。 |
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但是大多数纸的用途压根不是折个角然后折纸飞机啊！ 人们对纸张最大的需求是对折！！！！！ 假设一张纸是 1.618 × 1，对折后，新纸的长是 1，宽是 1.618 / 2 = 0.809。 新比例变成了 1.236 这种毫无美感的东西，二次对折后就更加丑了。 黄金比例 pass！ 那么怎样实现不管怎么对半折，纸的形状永远不变呢？ 设一张纸的长为 y，宽为 x，对折之后，原来的宽 x 就变成了新的长，而原来的长 y 的一半就成了新的宽。 要让原纸和新纸的比例完全一样，就必须满足： \frac{y}{x} = \frac{x}{y/2} 解得： y = \sqrt{2}x 所以说无论长宽是多少，只要长边与短边的比例是 \sqrt{2}\approx1.4142 ，就可以不断地对折套娃。 接着，已知： A0 纸的面积是 1000000 \text{ mm}^2。A0 纸的边长比例是 y = \sqrt{2}x。 那么有： \begin{aligned} x \times (\sqrt{2}x) &= 1000000 \text{ mm}^2\\ x^2 &\approx 707106 \text{ mm}^2\\ x &\approx 841 \text{ mm}\\ \end{aligned} 解得 A0的短边为 x \approx 841 \text{ mm} ，长边为 y \approx 1189 \text{ mm}。 接下来只要对半折，长变宽，宽变长，就能算出剩下的尺寸： A0：841 × 1189 mmA1：594 × 841 mmA2：420 × 594 mmA3：297 × 420 mmA4：210 × 297 mm还有更小的 A5 等等，以此类推 这样就得到了神秘的 210 和 297。 有了标准尺寸，标准比例，造纸厂只需要生产出巨大的A0级别乃至更高倍数的纸卷就行了。 对半切，当两张A1 卖，再对半切，当四张 A2 卖，你想怎么卖就怎么切，不会有任何的边角料。 这个特性有且只有 1:\sqrt{2} 时能满足，无论是 1:1.5 还是 1:1.618 都会产生大量的废料。 除此之外，就是算钱也很方便，假如 A0 克重 80. 既然 A4 纸是对折 4 次得来的，那重量就是 1/16，也就是 5 克。 价格差不多也是 1/16，买 100 张该多少钱口算算就好了，你用 1.618 我都不知道你怎么算。 到了现代又多了个额外的好处，鼠标一拖，文字居然可以按比例缩放。 现在你去复印店，把A4纸放在复印机里，放大到A3，自动乘以 141% 即可，反之缩小只需乘以 71%。 不管你怎么放大缩小，文档里的字、排的版、画的图，连一个像素的白边都不会多，连一毫米的文字都不会被切掉，排版界都被这圣迹感动哭了。 哎，那么问题来了，要是所有人都习以为常，怎么还会有感动哭了这么一说呢？ 北美还在广泛使用傻屄 Letter 信纸，大小为 216mm × 279mm，比例大约是 1 : 1.29。 Letter 的母版是从工人的手臂长度倒推出来的，这下终于不是马屁股决定的了。 一个成年男性造纸工双臂张开能稳定操控的框架宽度极限大约就是44英寸，然后经过某种我没搞懂的神秘切法一切就这个鸟样。 当你要处理不同版式的文档统一时，排版错位会搞得你头秃，不管怎么缩放都是这边空一点那边又不够，不得不浪费大把时间手调。 习惯了公制的一切，还在吐槽奇怪，真是身在福中不知福啊，用200mm × 300mm 才是真的有福了。 哎，没见过地狱，又怎知这是天堂？ 送礼物 还没有人送礼物，鼓励一下作者吧 |
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首先，纸张是一个面积产品，或者体积产品，不是一个长度产品。那么在纸张售卖的时候，自然要看我买了多少面积的纸张，或者多少体积的纸张。对于一张纸（固定厚度）来说，一个纸的价值就体现在面积上。 所以，一张A0纸的定义就是一个面积为1平方米的纸——这样便于买卖的时候计算价格。 但是买家会有不同的要求，有的需要大纸，有的需要小纸，于是就出现了A1，A2，A3，A4等等大小的纸。那以什么样的标准来定义这些纸的大小呢？ 标准就是：怎样用A0纸切割成其他型号的纸最方便？这样的话，不同型号的纸在运输的时候，也能最省空间的布设，不会留空隙。 于是，一个最省事的切割与编号规则就出来了：把 A0 定义成面积正好 1 平方米，并规定整套纸张的长宽比等于 \sqrt{2} 。这样只要沿长边对半裁，每次得到的两张小纸依然保持同样的比例（不变形，长宽比还是 \sqrt{2} ），而且面积正好减半。从A0 裁到 A1 ，再到 A2，A3……，面积逐次变为 1/2, 1/4, 1/8 平方米……。这就是今天的 ISO 216 标准的核心做法https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_216" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[1]。 知道了A0的面积1平方米，以及长宽比 \sqrt{2} ，我们就很容易算出来，A0的长是1189毫米，宽是841毫米；对半裁后，A1的长是841毫米，宽是594毫米；一次类推，就得出A4的长是297毫米，宽是210毫米。不同尺寸的纸的大小和裁剪如下图https://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size#/media/File:A_size_illustration2.svg" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[2]。 |
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不同尺寸的纸的大小和相对关系 如果用公式表示的话，一个An型号的纸，宽度是 (1/\sqrt{2})^{n+0.5} ，长度是 (1/\sqrt{2})^{n-0.5} ，对应的A0——841 × 1189，A1——594 × 841等等.... |
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切纸机 对半切 这样做有有几个好处： 首先，纸张An的编号n直接代表面积倍率，An的纸面积就是 1/2^{n} 平方米。 最常见的复印纸一平米是80g，这样很容易就能算出A4纸的重量就是5g，对于计算运费啊，纸张费用啊，口算都可行。 另外，在运输的时候，即使纸张的大小不一致，也可以基本无缝的拼接在一起，节省运送空间。 |
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在运输的时候，即使纸张的大小不一致，也可以基本无缝的拼接在一起 最后，值得一提的是，最早提出 \sqrt{2} 长宽比来设计纸张大小的是18世纪的德国科学家 Lichtenberg，直到1975 年这个设计才升级为国际标准 ISO 216，从此这种A系列的纸张设计在全球广泛使用。 好了，写到这里，欢迎留言讨论～ 评论区 @李龙飞 提到了B系列的纸。B系列没有A系列常见，但是跟A系列一样，也是遵守 \sqrt{2} 的长宽比来设计，只不过对于B0纸的宽度定义成了1米，所以B0的面积就是1.414平方米。 如果用公式表示的话，一个Bn型号的纸，宽度是 (1/\sqrt{2})^{n} ，长度是 (1/\sqrt{2})^{n-1} ，对应的B0——1000 × 1414，B1——707 × 1000等等.... 不同型号的B系列的纸大小见下图https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/B_size_illustration2.svg" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[3]。 |
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B系列的纸 另外还有C系列的纸，与 A系列和B系列 一样，C系列也遵守 \sqrt{2} 的长宽比来设计，Cn的长和宽是根据An和Bn的几何平均计算的。用公式表示为： Cn=\sqrt{An*Bn} 所以，一个Cn型号的纸，宽度是 (1/\sqrt{2})^{n+0.25} ，长度是 (1/\sqrt{2})^{n-0.75} ，对应的C0——917 × 1297，C1——648 × 917等等.... 不同型号的C系列的纸见下图https://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size#/media/File:C_size_illustration2.svg" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[4]。 |
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C系列的纸 评论区 @雨花 提到了中国的开系列。 下图是《中华人民共和国新闻出版行业标准-书刊印刷通用设计规范》https://www.nppa.gov.cn/xxgk/fdzdgknr/hybz/202210/P020221004608939949819.pdf" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[5]的尺寸规定（2020 — 01 — 01 实施[6]）。 所谓“开系列”的原纸尺寸有五种： 787×1092 mm，889×1194 mm， 880×1230 mm ， 850×1168 mm，1000x1400mm。 |
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中国书刊印刷通用设计规范 之后根据不同的大小，按照下图的二等分的对开切割方式分成了对开，4开，8开等纸张。值得一提的是，这个设计没有遵循上文根号2的长宽比，比如：原始纸张尺寸是1000x1400，对应的长宽比是1.4，在32开的时候，165x243对应的长宽比是1.47。不过依然保留着切割方便，和运输节省空间的便利。 |
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对开，4开等切割方式 参考^https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_216^https://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size#/media/File:A_size_illustration2.svg^https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/B_size_illustration2.svg^https://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size#/media/File:C_size_illustration2.svg^https://www.nppa.gov.cn/xxgk/fdzdgknr/hybz/202210/P020221004608939949819.pdf^GB147-89 送礼物 还没有人送礼物，鼓励一下作者吧 |
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这要从一战后的德国说起。当时的德国，真的是什么都想标准化，恨不得把空气都打包成统一规格。就在这种背景下，一位叫波斯特曼（Walter Porstmann）的工程师在 1922 年推出了一个叫 DIN 476 的标准。这个人不仅是工程师，还是数学家，他提出的这个纸张标准，就是后来全球通用的 ISO 216 标准的亲爹。 但这个想法更早的“祖师爷”，其实是 18 世纪一位叫利希滕贝格（Georg Christoph Lichtenberg）的德国物理学家，他大概是某天下午茶喝多了，突然想到：如果一张纸对折之后，新的小纸片跟原来的大纸片长得一模一样（就是长宽比例一样），那该有多方便啊！ 这个天才的想法，就被波斯特曼捡起来发扬光大了。 自适性的“√2”比例 所以，A4 纸的第一个核心机密，就是它的长宽比。你拿计算机按一下，297 除以 210，答案约等于 1.414。哎哟，这个数字是不是很眼熟？没错啦，就是初中数学就学过的 √2。 这个比例有什么了不起？了不起惨了！ 所有 A 系列的纸，从跟浴巾一样大的 A0 到便利贴那么小的 A8，长宽比全都是√2。 这让它们有了一种“自相似”的超能力。你把两张 A4 纸并排贴在一起，就得到一张 A3 纸，而且这张 A3 纸的长宽比不多不少，还是 √2。你把一张 A4 纸沿长边对折，就得到一张 A5 纸，它的长宽比也还是 √2！ 这个特性在影印和排版上简直是神一般的存在。你要把 A4 的文件放大到 A3，只要等比例放大 141.4% 就好，内容不会变形、不会被裁切，完美铺满。反过来缩小也一样。不像某些国家的纸，放大缩小都要愁眉苦脸地重新排版，真是麻烦死了。 从一平方米开始的“对半砍” 那为什么是 210 × 297 这个数字，而不是别的同样符合 √2比例的数字呢？这就牵扯到第二个核心机密：A0 纸的面积被严格定义为一平方米（1 m2）。 然后，整个 A 系列家族就是从这个一平方米的“老祖宗”开始，玩“对半砍”的游戏： A0 (841 × 1189 mm) 的面积，不多不少，正好是一平方米。 A0 对折，得到 A1。 A1 对折，得到 A2。 A2 对折，得到 A3。 A3 对折，就得到了我们讨论的 A4 ！ 所以 A4 的面积，理论上就是 1/16 平方米。那些看起来很奇怪的数字，就是从一平方米和 √2 的比例经过四次对折，再为了方便生产和测量，修约取整到毫米的结果。每一个数字都有它的来历，不是随便拍脑袋定的。 曾经的竞争者们 A4 的统一之路也不是一帆风顺的。在它一统江湖之前，世界各地的纸张尺寸那叫一个群魔乱舞。 法国的尝试： 法国大革命时期，那群什么都想改的革命家也搞过纸张标准化，他们用的是一个基于“Grand Registre”的尺寸，但因为系统太复杂，最后不了了之。 美国的“孤岛”： 直到今天，全世界大概只有美国、加拿大和一些中美洲国家还在坚持用自己的一套标准，最常见的就是 Letter 纸（8.5 × 11 英寸，约 216 × 279 毫米）。它的比例大概是 1:1.294，一个毫无数学美感的数字，导致他们在处理文件缩放时常常会遇到麻烦。它的起源众说纷纭，甚至有传闻说是根据古代工人手臂长度来定的，真是……很随性。 送礼物 还没有人送礼物，鼓励一下作者吧 |
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喜欢整数可以用B系列 B0短边1m B1长边1m B2短边0.5m B3长边0.5m B4短边0.25m B5长边0.25m B6短边0.125m 以此类推 但你要两个边都是整数，那裁切之后就没法保持原比例了 |
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